질문 있음
1.지수 법칙이 결국은 지수가 자연수 범위일때에 "n번 거듭해서 곱한다"를 기준으로 만들고 나서 음수, 유리수, 실수까지 확장시키기 위해서 x^m 의 정의를 새로 내린거 맞지? 더 이상 "n번 곱한다"의 의미가 아닌 지수법칙이 성립하는 방향 쪽으로 ㅇㅇ
2. 질문1에 대한 내 생각이 맞다면 지수를 유리수로 확장하면서 a^(n/m)을 정의 내릴때, 지수 법칙이 성립하도록 a^(n/m)을 정의 내렸을 것이기 때문에, {a^(n/m)}^m=a^n 여야 하잖아.
그런데 a^(n/m)을 t라고 하면
i) n이 홀수, m이 짝수일때 a<0 이면 t가 거듭제곱근의 성질에 따라 존재하지 않음.
ii) n이 홀수, m이 짝수일때 a<0이면 지수법칙 대로라면 t^2m=a^2n 을 만족시키도록 정의된 t가 t^m=a^n 도 만족해야 하는데 분명 같은 t임에도 전자는 존재하지만 후자는 존재하지 않게 됨.
이런 이슈들이 생겨서 지수가 유리수일때는 a>0으로 정의 내린거 맞음??
3. 그러면 사실 (-8)^1/3은 정의가 안 내려지는거네??
지수가 유리수일땐 밑이 양수여야 하니깐
미적분 공부하다가 x^(n/m) 개형에서 뇌정지와서 지수확장 다시보고 있는데 옛날에는 그냥 외웠었나봐. ㅈㄴ 어렵네
세 질문 다 맞음
2번 질문에 반례 ii번도 추가해봤는데 저것도 내 생각이 맞음??
사실 n번 곱한다는 의미가 아예 없는건 아님 단위분수 지수인 a^(1/n)는 a의 n제곱근 즉 n번 곱하면 a가 되는 값을 a^(1/n)으로 정의한거고 {a^(1/n)}^m = a^(m/n) 로 정의 실수 지수는 유리수 지수를 근사화 한것
2번 질문 반례 ii번 제 생ㄱ각이 맞나요?
그리고 2^(1/2)을 정의할때 sqrt2와 -sqrt2 중에 sqrt2를 갖기로 한건 그냥 약속한거임??
복잡하게 경우의수 나눠 생각할게 머있음 실수a,b와 자연수 m에 대해서 a^m=b 를 만족하는 m이 존재하면 b^(1/m)=a 라고 정의하면되는거지
(b^k)^(1/m) 을 편의상 b^(k/m) 이라고 두면 되는거고. 그럼 (-8)^(1/3)=-2 지 왜냐하면 (-2)^3=-8 이니가
아니 첫번째 댓글에서 'm이 존재하면'이 아니고 a가 존재하면 ㅇㅇ