보다 보니깐 궁금한게 몇가지 더 생겼는데
1. 2^(1/2)을 정의할때 sqrt2와 -sqrt2 중에 sqrt2를 갖기로 한건 그냥 약속한거임?? 네제곱근16을 정의할때 +-2중에 +2쪽만 갖기로 약속한 것처럼???
2. 아래적은게 지수를 유리수로 확장하면서 a>0으로 정의하게 된 과정이 맞나요??
t=a^(n/m)이라고 하자.
n이 홀수, m이 짝수일때 a<0이면 지수법칙 대로라면 t^2m=a^2n 을 만족시키도록 정의된 t가 t^m=a^n 도 만족해야 하는데 분명 같은 t임에도 전자는 존재하지만 후자는 존재하지 않게 됨.
이와같이 지수 n/m에서 (n과 m은 서로소임) n이 홀수이고 m이 짝수이면서 밑이 음수면 자꾸 여러가지 문제가 생김. 그렇다고 분자는 홀수이고 분모가 짝수일때 지수법칙을 사용할 수 없다 <-- 이렇게 정의하자니 n/m에 분모분자에 짝수를 곱하면 짝수/짝수 꼴이여서 일반적으로 정의하는데에 어려움이 생김. 따라서 그냥 a>0인 경우만 보기로 함.
귀찮으실텐데 항상 답변해주셔서 감사합니다 (_ _)
1. 2^(1/2)을 정의할때 sqrt2와 -sqrt2 중에 sqrt2를 갖기로 한건 그냥 약속한거임?? 네제곱근16을 정의할때 +-2중에 +2쪽만 갖기로 약속한 것처럼???
2. 아래적은게 지수를 유리수로 확장하면서 a>0으로 정의하게 된 과정이 맞나요??
t=a^(n/m)이라고 하자.
n이 홀수, m이 짝수일때 a<0이면 지수법칙 대로라면 t^2m=a^2n 을 만족시키도록 정의된 t가 t^m=a^n 도 만족해야 하는데 분명 같은 t임에도 전자는 존재하지만 후자는 존재하지 않게 됨.
이와같이 지수 n/m에서 (n과 m은 서로소임) n이 홀수이고 m이 짝수이면서 밑이 음수면 자꾸 여러가지 문제가 생김. 그렇다고 분자는 홀수이고 분모가 짝수일때 지수법칙을 사용할 수 없다 <-- 이렇게 정의하자니 n/m에 분모분자에 짝수를 곱하면 짝수/짝수 꼴이여서 일반적으로 정의하는데에 어려움이 생김. 따라서 그냥 a>0인 경우만 보기로 함.
귀찮으실텐데 항상 답변해주셔서 감사합니다 (_ _)
1번 맞음 두개 있는데 양수껄 고른거임. 그리고 밑을 양수로 한거는 음수도 허용하면 허수도 나오기 때문에 일관되게 하기 위해 그런 것
굳이 n,m홀짝 나눠서 지수법칙 반례 찾을 필요 없이 그냥 허수 싫어서 배제했다(실수 범위에서 존재하지 않음), 이렇게 생각하면 되는거야? 그러면 n,m 모두 홀수일때 2n/2m으로 바꾸면 t의 값의 부호가 바뀌는것처럼 반례 더 찾고 있었는데 이런건 걍 의미없는 행동인거지?
어렵게 생각하지말고 실수 b와 정수 m에 대해, 실수 a가 '존재하여' a^m=b 를 만족하면 b^(1/m)=a 라고 정의하면 됨. 양수음수 두개 존재하면 그중 양수를 택하고
님 말 조금 이상한데... 그렇게 정의하면 (-2)^3=-8 로 분명 실수 a가 -2로서 정의되는데 (-8)^(1/3)은 정의되지 않아야 하는데 -2라고 정의가 되버림
왜 정의가 되지 않아야함?
(-2)^3=-8 인데?
거듭제곱근이 정의된다고 해서 꼭 지수로 정의해야 할 필요는 없음
????
수1에서도 세제곱근 -8 정의하지않나?
그러니까 ³√(-8)이 정의된다고 해서 (-8)^(1/3)을 정의할 필요는 없다는 얘기. 얘가 이걸 헷갈려 하는 것 같은데
(-8)^(1/3)은 정의 안된다고 전에 단 질문글에 누가 답변해줬던데... (-8)^(1/3)이 지수법칙이 성립한다 치면 {(-8)^2}^(1/6) 과 값이 같아야 하는데 둘이 다르잖슴.
ㅇㅇ 내말이 저거임 세제곱근(-8)은 정의되지만 (-8)^(1/3)은 정의되면 안되는거 아님?
그럼 -2를 세번곱해서 -8이 되는 과정을 역순으로 되짚어가는 연산은 무조건 n'th root 표기를 쓰자? 지수표기를 쓰든 n'th root 표기를 쓰든 어차피 복소수영역에선 cut 주변에서 지수법칙 성립 안하는데 대체 뭔상관임?
교육과정에서 (-8)^1/3 이라는 표기를 못쓰게하나? 내가 교육과정 정의를 정확히 아는건 아님
교육과정에서 밑은 양수로 제한함
교육과정엔 저런 경우를 배제하기 위해서 지수법칙이랑 거듭제곱근 규칙을 다르게 두나?
내가 궁금했던게 왜 유리수 지수부터는 밑을 양수로 제한했냐 <-- 이게 궁금해서 계속 머리 싸메고 깄던거였음 ...
교육과정에선 속이 음수인 거듭제곱근은 정의하는데 (-8)^(1/3)은 정의하지 않음 이 이유가 (-1)^(1/2) 같은게 실수가 아니니까 그런듯
애초에 지수를 확장할때 정의를 내리면서 지수법칙이 성립하는 쪽으로 확장한다. 이렇게 이해하고 있었음. 근데 (-8)^(1/3)을 정의내려버리면 아까 2/6으로 바꿨을때처럼 하나로 정의되지 않는 문제가 생긴다. 그래서 밑이 양수여야한다. 이렇게 이해하고 있었는데 학부 수학에서는 조금 다르게 정의하나봐요. 고딩 수학이 엄밀하지 않으니깐 그냥 그런가보다 해야하나
밑을 양수로 제한하는 이유는 너가말한 예시 그대로인거같음 지수법칙이 무조건 성립하게 만들고싶은데 밑이 음수가 되면 복소수 얘기 안할래야 안할수가 없으니까 어떻게든 피해가는거같음. 근데 내기억엔 지수법칙이 제곱근법칙이랑 1:1호환이 될텐데.. 그럼 똑같은 문제가 발생할텐데 음...
긴 시간 써줘서 고마워. 내년에 대학 붙어서 다시 공부해볼게
이게 '고등수학이 안엄밀해서' 생기는 문제는 아님. 오히려 내 접근이 더 안엄밀한거지. 너가 말한 문제가 생기잖음? 단지 복소수 밖으로 못나가게 만든 규칙이 인공적으로 보이는게 마음에 안드는건데 호기심 잘 간직하고있다가 대학가서 파고들면 될거같음.
그리고 좋은소식? 안좋은 소식이긴 한데 암튼 너는 밑이 음수가 안되는 이유가 궁금하댔잖음? 결국 z^2=-1 이 보여주듯이 음수의 유리수제곱근만 해도 복소수로 튕겨나가버림. 말하자면 실수에서 지수법칙을 잘 정의할순 없다는거지. 자연수에서 뺄셈을 정의할 수 없는것처럼. 그래서 교육과정에서는 양의실수라는 한정된 지수법칙을 써먹으면서 제한적으로 -8의 세제곱근같은 경우를 다루고 있는거임 그럼 복소수에서는 이렇게 '인공적인' 제한없이 복소수 전체에서 지수법칙이 잘 성립하도록 만들 수 있을까? 아쉽게도 복소수전체에서 잘 성립하는 지수법칙을 정의할 순 없음. 지수법칙을 정의하려면 branch cut이라는 직선같은걸 그어야하는데 그 cut을 잘못 넘어가면 지수법칙이 망가짐.
주워듣기로는 그런 cut끼리 잘 이어붙여서 곡면을 만든다던데 그런걸 동원하면 지수법칙이 전체적으로 잘 정의가 되게 만들 수 있나? 가 내가갖고있는 호기심임.
재밌긴 한데 어렵다.. 일단 난 대학 가는 걸 최우선 목표로 삼아야겠음 대학에 붙어야 더 공부할 수 있을테니간
a<0인경우는 복소함수론 로그파트의 principal branch 언급할때 대충 나올걸
고2라 학부 수학 건들 짬이 안나요 ㅜㅜ 내년에 대학 붙고 찾아볼게요
그냥 간단히 말하면 정의 자체가 그런거임 정의에 이유를 찾을 필요는 없음. 행렬곱을 그렇게 정의한것도 연립일차방정식을 행렬로 표현하기 위함이지만 그냥 그렇게 정의한거라 치면 됨
0^0도 정의할 수 있지만 그냥 안한거임. 0^0은 정의하지 않지만 무한급수로 나타낼 때 0^0 = 1로 치는 표기가 흔함
정의가 왜 그렇게 되었는지는 생각해보는건 걍 의미없는 행동임???
합리적이긴 한데 강박을 가질 필요는 없음
ㅇㅋ.. 너무 수스퍼거 행동이었나봄 수능 미적 공부하다가 x^(n/m) 개형에서 뇌사와서 그런가 좀 깊게 이해해보고 싶었음
예를 들어 (-2)^(1/3)은 잘 정의된다고 생각할 수 있지만 이걸 (-2)^(2/6)으로 이해하면 살짝 골치가 아파짐 그래서 유리수 지수부터는 밑이 양수인 경우만 생각함