여러번 다시 읽어도 의문점이 남는것이,
풀이에서 a_n을 a_1, a_2, ... , a_n-1의 산술평균으로 전제하여서 증명한것인데,
그게 n에서 산술기하 평균 부등식이 성립할때 n-1에서도 항상 성립한다는것의 증명이 아니지 않나요?
즉, 정확히하면, "a_n= (a_1 + ... + a_n-1)/(n-1) 이고, a_1, ... , a_n에서 산술-기하 평균 부등식이 성립할때, a_1,...,a_n-1에서도 산술-기하 평균 부등식이 성립한다"를 증명한것이 아닌가 하는 생각입니다.
예컨대 (a_1, ..., a_3) = (3, 5, 6) 인 경우,
세 수 모두 자신을 제외한 나머지 두 숫자의 산술 평균이 되지 못하므로,
이 풀이를 통한 증명으로는 위 순서쌍의 세 숫자들은 산술-기하 평균 부등식이 성립한다고 볼 수 없다는 뜻입니다.
풀이에서 a_n을 a_1, a_2, ... , a_n-1의 산술평균으로 전제하여서 증명한것인데,
그게 n에서 산술기하 평균 부등식이 성립할때 n-1에서도 항상 성립한다는것의 증명이 아니지 않나요?
즉, 정확히하면, "a_n= (a_1 + ... + a_n-1)/(n-1) 이고, a_1, ... , a_n에서 산술-기하 평균 부등식이 성립할때, a_1,...,a_n-1에서도 산술-기하 평균 부등식이 성립한다"를 증명한것이 아닌가 하는 생각입니다.
예컨대 (a_1, ..., a_3) = (3, 5, 6) 인 경우,
세 수 모두 자신을 제외한 나머지 두 숫자의 산술 평균이 되지 못하므로,
이 풀이를 통한 증명으로는 위 순서쌍의 세 숫자들은 산술-기하 평균 부등식이 성립한다고 볼 수 없다는 뜻입니다.
이해한게 없는것같은데. 네 말대로라면 a_4 = 14/3이라 두고, n=4일때 성립하는걸로 증명을 따라가면 되는건데?
음... 잘 이해가 되지 않네요. 만약 그 a_4까지의 수들이 부등식을 만족한다고 해도, a_4까지의 수들중 그 어떤 수도 자신을 제외한 나머지 세 수들의 산술평균이 아니면, a_3까지의 수들이 부등식을 만족하는걸 어떻게 증명하죠?
아니 진짜로 이해한게 없잖아 임의의 두 수(n=2)에 대해서 AM-GM inequality가 성립하므로 n=4, 8, 16.... 2^k꼴은 다 성립한다고 그러니까 n=3일때, 항을 하나 더 추가해서(그 항의 값은 n=3일때 항들의 평균) n=4로 만들어서 AM-GM을 적용하면 임의의 n=3일때에도 성립함을 보일수 있는거라고 그게 n일 때 성립하면 n-1일때 성립한다는거고 왜 a_4까지의 수들 중 나머지 세 수가 평균이 아닌지가 중요해 나머지 세 수는 임의의 수고 내가 a_4를 그들의 평균으로 정하고 n=3일 때 결과를 얻어내겠다는건데
전제: 임의의 n개의 수에서 산술-기하평균 부등식이 성립한다 목표: 임의로 주어진 n-1개의 수 a1, ... , a(n-1)에 대하여 산술-기하평균 부등식이 성립하는지 확인하자. 과정: 전제를 이용하기 위해 새로운 수 an을 도입하자. 전제의 말마따나 임의로 주어진 n개의 수에서 산술-기하평균 부등식이 성립한다고 하였으니 an은 내 마음대로 정의해도 된다. an=(a1+ ... +a(n-1))/(n-1)라고 정의하자. "전제에 따라" a1, ... , an에 대하여 산술-기하평균 부등식이 성립한다. (중략) 따라서 최초에 임의로 주어진 a1, ... , a(n-1) 에 대하여 산술-기하평균 부등식이 성립한다.
※수학적 귀납법이란 다음과 같음. 정의역이 자연수집합이고 공역이 {참,거짓}인 함수(명제) P를 생각하자. [1. P(1)이 참이고] & [2. 임의의 자연수 n에 대해 "P(n-1)이 참이라고 가정하면 P(n)이 참이다" 라는 명제가 참이라면] => 임의의 자연수 n에 대해 P(n)은 참이다.
친절한 답변 정말 감사드립니다. 그러나 아직도 의문이 가시질 않네요... 제 생각을 좀 다르게 표현드리자면, 문제에서 이미 "n에서 부등식이 성립할때 n-1에서 부등식이 성립하는 /특수/한 경우"를 만들고 거기 안에서 증명을 한것처럼 느껴지네요...
전체 흐름을 봐, 특수한 경우가 맞고 그 특수한 경우가 성립한다는 것이 중간목표 3에서 나타나는 전제에 의한 것임. 전체 흐름을 꼭 확인해
전체 증명 흐름)목표: 임의의 자연수 N에 대해, 임의의 N개의 수에서 산술-기하평균 부등식이 성립함을 보이자.전략: 수학적 귀납법의 응용산술-기하평균 부등식을 P라고 하자.P(n) = n개의 수에 대한 산술-기하평균 부등식중간목표1: P(1), P(2)가 참임을 보이기.중간목표2: 임의의 자연수 n에 대해 "P(n)이 참이라고 가정하면 P(2n)이 침이다" 라는 명제가 참임을 보이기.중간목표3: 임의의 자연수 n에 대해 "P(n)이 참이라고 가정하면 P(n-1)이 참이다" 라는 명제가 참임을 보이기.마지막 과정: 나무위키 설명의 마지막 단락 참조
내 능력 안에서 가장 명료하게 설명하려고 노력했고 아마 그럴것임. 더 해줄말은 없고 계속 댓글 읽어보고 안되면 미루고 대학가서 증명하셈. 증명논리가 엄청 초보적인 것도 아니고 증명이란것도 익숙해져야 쉬워지는거라 선형대수학-해석학 등 (사실상) 엄밀한 증명논리 연습과목을 수강하고 나서 보면 개껌인데 그렇지 않으면 어려울 수 있음.
그냥 귀납적 증명을 헷갈려하는거같은데? 일반적인 귀납법을 설명하자면,an이 성립한다고 가정하고 an+1을 이끌어낸다. 이것이 무엇을 위한 것이냐면 an이 참인 상태에서는 an+1이 참인것을 보인것임. 다시 반복하자면, an이 성립함을 알면 an+1도 성립함을 이제는 알 게 됐음. 이제 그러면 특정 n 예를들어 a1에서 성립함을 알면, 방금 밝힌것에 의해 a2도 성립하고, 또 똑같은 논리에 의해 a3도 성립하고 ...
귀납적 증명을 아예 안배운것도 아니고, 다른 귀납적 증명 예시를 보면 충분히 이해가 갑니다. 왜냐면 그러한 경우는 '임의의 수' n(즉, 특별한 조건 없이 전부)의 경우 성립하면 n+1, n-1, 2n의 경우도 성립한다 라고 쓰니까요. 그런데 이 증명은 단순한 임의의 수 n이 아니라, 앞서 말씀드린 조건을 만족하는 수 a_n에 대한 증명이라고 느껴집니다.
특히, 전체 증명 (1. n=2일때 증명 / 2. n일때 성립하면 2n일때도 성립 / 3. n일때 성립하면 n-1일때도 성립)중에서 2번 증명 또한 같은 귀납적 증명인데도 분명 명확하게 이해가 갑니다.. 왜 3만 이해가 안되는지 모르겠네요. 이 수많은 분들중에 저만 이해가 안간다고 하는게 분명 제가 뭔가 큰 착각을 하고있는거 같은데. 그게 뭔지 모르겠네요.
2번 증명의 결과로 모든 2^k꼴(2,4,8,16,...)에 대해서 AM-GM이 성립한다는건 알고있지? 3번 증명은 뭐냐 2^k꼴에서 성립하면 2^k보다 작은 모든 수에 대해서 AM-GM이 성립한다는 뜻이고 2,3번 증명을 합치면 모든 자연수는 그보다 큰 2^k꼴의 수가 있으니, 모든 자연수에 대해서 성립한다는 뜻이지 단순한 테크닉이 이해 안간다는 얘기는 아니였던걸로 이해함
항 3개짜리 산술기하를 증명하고 싶은데, 정작 알고 있는건 항 4개짜리임. 그래서 a1 a2 a3 세 개에 a4=(a1+a2+a2)/3을 억지로 추가하고 이 4개에 산술기하를 쓰겠단 거임
그러니까 애초에 a3가 a1 a2의 산술평균이 아니면 어떡하죠 이런 질문 자체가 의미가 없다고. 새로운 항을 강제로 추가해서 4개짜리 (이미 알고 있는) 산술기하를 쓰겠다는 게 포인트니끄
어... 그러니까 그건 이해 되는데요, 애초에 어떤 귀납법이던 n=k일때 식이 성립하면 n=k-1일때도 식이 성립한다를 증명하고 싶으면 n=k인 점만을 이용해야하는거 아닌가요? n=k인것 뿐만 아니라 a_k에 대해 조건을 걸어버리고 그것을 이용하여 결론을 낸거면, n=k이면서 동시에 a_k에 걸린 조건을 만족하면 n=k-1일때도 식이 성립한다라고 결론을..
뭔 소리를 하는거니 아무 조건이 없을 때 성립하면 조건이 있어도 성립하는거지
n일때 성립하면 2n일때 성립함 n이 성립하면 n이하의 모든 자연수에 대해 성립함 임의의 자연수 n에 대해 n보다 큰 짝수 2k가 존재하고 2k이하의 모든 자연수에 대해 성립하므로 n도 성립 맞나 - dc App