1. t에 의해 1번 곡선이 하나로 정해지고 그이후에 1번 곡선에 2번 곡선이 접하도록 만드는 a가 종속적으로 정해지기 때문에 a=f(t)라고 문제에서 준 것 같은데 그러면 접점의 x좌표도 t에 관해 정해지기 때문에 g(t)로 잡아야하는거 아닌가요? 풀이 찾아보니깐 그냥 k로 잡고 풀던데 그래도 되는 이유가 궁금합니다.
2. 1번 곡선과 2번 곡선의 접점에서 기울기가 같다를 사용하기 위해 2번 곡선을 x에 관해 미분할때, y=2e^(x-f)로 미분하게 되면 f에 t가 있기에 다변수 미분이 되는거 아닌가요? f를 그냥 a로 바꾼 다음에 상수 취급하고 미분한다음 다시 f를 대입하기에 뭔가 왜 되는건지 모르겠고 찝찝합니다. 조금 자세히 알고 싶습니다. 아니면 혹시 t가 x에 대해서 전혀 관계식이 없는 독립이기 때문에 그냥 f를 상수 취급하고 미분하면 되는건가요?
3. 1번의 경우 제말처럼 접점 x좌표를 g(t)로 놓고 풀게 된다면 t^3*ln(x-t)를 x에 관해 미분할 때 역시 2번과 같은 이유로 t 상수 취급하여 미분한 후 x에 g(t) 대입하여 풀면 되는건가요?
선후가 뒤바뀜. 문제를 풀면서 구해야 하는 게 a와 t사이의 관계 f인 거고, 지문에서 “f(t)라 하자” 고 써 놓은 것은 단지 그 관계가 함수관계이기 때문에 “f'(1/3)^2의 값을 구하시오” 라는 문장에서 저 관계를 지칭하려고 f라는 심볼을 미리 갖다 쓴 것 뿐이지, 실제로는 문제를 푸는 과정에서 저 f를 발견해야하는거임 그래서 2번질문에 대한 답을 하자면 그냥 a로 두는 게 맞음 애초에 저 미분을 하는 과정 자체가 f를 발견하는 과정이라서, t와의 관계가 미리 전제되지 않거든 저걸 미분해서 나온 결과물을가져다가 두 곡선이 한 점에서 만나려면 어떻게해야되는지 등식으로 기술하면 그제서야 t와 a사이의 관계 f가 발견되는거임
이해했음. 그러면 접점의 x좌표를 k로 잡고 식정리해서 t와의 관계를 찾으면 그제서야 g(t)라는 관계로 정의된다는거지? 그리고 문제 풀때 의미가 없으니깐 그냥 k 그대로 두고 푼거고.
ㅖㅏ
그러면 x에 관해 미분할때 t를 상수 취급하고 그대로 미분하는 이유가 뭐임? 그냥 t와 x는 서로 무관해서 그럼?? 아무런 관계도 없는??
저걸 미분하는 전후맥락에서는 진짜로 t랑 a가 그저 상수라서 그럼
상수인데 그 값이 정확히 얼마인지 모르는 상수인거지.. 그래서 일단 심볼(상수)로만 두고 저 두 그래프가 접한다면 얘네의 실제값에는 어떤 제약이 가해질까? 를 미분해서 확인해보는거임 근데 미분해서 확인해보면 이제 저 두 심볼이 서로가 서로에게 가하는 제약이 보여지잖아 그러면 그제서야 a,t가 함수관계로 기술될수있는거임 함수란게 그런거니까
아 이해했음 저능아라 그런가 힘드네
그럼 이제 고능해지삼
문제의 핵심이자 223.39님의 질문에 답이 되는 것은, 위 조건을 만족하는 x값을 잡았을 때 x는 분명히 t로 표현되는게 맞습니다. 그러나 접점에서 기울기를 구하는 경우, *t값에 따른* a값을 구하는게 최종 목표기 때문에 t값 고정 = x값 고정 = 상수 라고 보고 푸시면 됩니다. 그리고 가장 중요한 것은, 나중에 함수값 비교를 하면 알게되는 것인데
x-t의 값이 일정하다는 겁니다. 이때 재밌는 것은, x값과 t값으로 표현된 a에서 x값으로 나타내어진 부분이 (x-t)로 되어있습니다. 즉, 실제론 a값에는 상수 역할을 하기 때문에 x값의 변화를 고려할 필요가 없습니다. 그래서 결론적으로 a는 순수히 f(t)로 나타낼 수 있고, 또한 t에 대한 미분 역시 가능합니다.
결론적으로, 미적분 뿐만 아니라 수학의 모든 분야에서 가장 중요한 것은, 물론 당연한 말이지만, "내가 지금 목표가 뭐지"하고 분명히 짚고 넘어가는게 좋은 습관인 것 같습니다. 내 논리 전개 방식 = 문제를 풀때 하는 생각을 마치 코딩의 입출력처럼 정리하면, 문제를 이해하는데 큰 도움이 됩니다.
2. 위 댓글들에서 설명했다시피, 곡선을 x로 미분할 때 f를 고려할 필요는 없음 1 & 3. 엄밀히 하자면, 접점의 x좌표도 g(t)로 놓고 구해야 하는게 맞음. 심지어는 직접 구할수도 있다. g(t) = t + C 형태가 됨. (여기서 C는 ln C = 1/C를 만족하는 상수) 다만 놀랍게도 접점의 x좌표(g(t))를 그냥 상수 취급하고 계산하나 g(t)를 구해서 계산하나 답은 같게 나옴(위에 180.81 참조)