곡선의 길이 부분에 대해서 질문이 잇습니다
1번 공식은 t에 대해서 x의 순간적인 증분과 y의 순간적인 증분을 피타고라스 공식에 대입하여 곡선의 접선 방향으로 순간적으로 얼마나 길이가 늘어나는지를 적분하여 더한다고 생각하여 이해하였습니다.
그런데 2번 공식의 증명을 교과서에서 x=t, y=f(t)로 보고 적분해서 저렇게 유도된다고 써놨더라고요. 오류가 없는 증명임을 알지만 도저히 이해가 안가는 것이 굳이 t라는 매개변수를 끌어온 이유입니다. x의 순간적인 증분에 대한 x의 순간 증분(결국 당연히 1), x의 순간적인 증분에 대한 y의 증분을 피타고라스 공식에 대입하여 곡선 접선 방향으로 길이가 얼마나 늘어날건지를 구하면 되기에 그냥 sqrt((dx/dx)^2+(dy/dx)^2)을 적분하면 되는 것을 굳이 t라는 매개변수를 사용해서 sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)으로 표현한 이유를 모르겠네요. 그냥 이해를 돕기 위해서일까요?
+++ 궁금한점이 하나 더 있는데 원점에서 출발하는 어떤 곡선의 x,y 증분을 theta만큼 회전시켜
x축 증분으로서 (dx/dt)*cos(theta)-(dy/dt)*sin(theta),
y축 증분으로서 (dx/dt)*sin(theta)+(dy/dt)*cos(theta)
라고 둔 후 적분하여 곡선을 그리면 기존 그래프를 원점에 대해 theta만큼 회전시킨 그래프가 나오게 되나요? 머리속으로 상상해봤을때는 그렇게 될 것 같은데 실제로는 어떨지 궁금하네요.
1번 공식은 t에 대해서 x의 순간적인 증분과 y의 순간적인 증분을 피타고라스 공식에 대입하여 곡선의 접선 방향으로 순간적으로 얼마나 길이가 늘어나는지를 적분하여 더한다고 생각하여 이해하였습니다.
그런데 2번 공식의 증명을 교과서에서 x=t, y=f(t)로 보고 적분해서 저렇게 유도된다고 써놨더라고요. 오류가 없는 증명임을 알지만 도저히 이해가 안가는 것이 굳이 t라는 매개변수를 끌어온 이유입니다. x의 순간적인 증분에 대한 x의 순간 증분(결국 당연히 1), x의 순간적인 증분에 대한 y의 증분을 피타고라스 공식에 대입하여 곡선 접선 방향으로 길이가 얼마나 늘어날건지를 구하면 되기에 그냥 sqrt((dx/dx)^2+(dy/dx)^2)을 적분하면 되는 것을 굳이 t라는 매개변수를 사용해서 sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)으로 표현한 이유를 모르겠네요. 그냥 이해를 돕기 위해서일까요?
+++ 궁금한점이 하나 더 있는데 원점에서 출발하는 어떤 곡선의 x,y 증분을 theta만큼 회전시켜
x축 증분으로서 (dx/dt)*cos(theta)-(dy/dt)*sin(theta),
y축 증분으로서 (dx/dt)*sin(theta)+(dy/dt)*cos(theta)
라고 둔 후 적분하여 곡선을 그리면 기존 그래프를 원점에 대해 theta만큼 회전시킨 그래프가 나오게 되나요? 머리속으로 상상해봤을때는 그렇게 될 것 같은데 실제로는 어떨지 궁금하네요.
물리학(운동학)에서 이동거리가 곡선의 길이임
매개변수방정식 x=f(t), y=g(t)는 시각 t에서의 위치를 말하는거고
님이 ( dx/dx )^2+ ( dy/dx )^2 라고 쓰긴 했지만 정확히 말하면 y는 x로서의 함수 y(x) 인거고, x는 그냥 x죠 결국 님도 (x,y(x)) 를 가지고 유도한건데 x가 t로 바뀌었을 뿐 똑같은 얘기임
어떤 곡선 (x(t),y(t)) 가 있고 그걸 θ만큼 회전한 곡선을 (X(t),Y(t)) 라 하면 (편의상 cosθ=c, sinθ=s 라고 씀) (X,Y)=(cx+sy,-sx+cy) X'=cx'+sy' Y'=-sx'+cy' 님계산맞음
당연히 회전한 곡선의 길이는 원래 길이랑 같아야만 할테니까 x'^2+y'^2=X'^2+Y'^2 이어야만할텐데 이것도 확인해보면좋고
아 님은 저랑 회전방향이 반대네요
매개변수꼴 곡선이좀더 일반적인경우니까
무한소증분이니뭐니하는개념을 꺼내는게 오히려 이해를돕기위한거임. 표준적인 해석학에선 그런게 존재하지않음