미분형식 1form. 기본적으로 wedge product 로 지들끼리 엮이고 밀고당기기 철학과 잘 어울리는 기하냄새, 선대냄새 나는 녀석
리만스틸체스. 해석학에서 연습문제로 풀어봄. 그냥 치환적분 좀 일반화한거 아닌가 정도로 생각하고있음
르벡적분. 메져만 정해지면 자연스럽게 "가로본능" 을 따라 정의되는 적분.
얘들 차이가 뭐임?
그냥 construction 만 다르고 결과적으론 같은애들인가?
리만스틸체스는 르벡적분의 하위호환이라고 생각한다면 미분형식과 르벡적분만 남는데
미분형식이 1-form 이 2-form, 3-form 을 따라 선대스럽게 얽히면서 자연스럽게 면적분 선적분을 설명해주듯이
리만스틸체스 적분도 그런식의 확장이 가능함? 궁극적으로는 스톡스정리 얘기를 할 수 있음? 아님 그냥 "적합한" 메져를 독립적으로 줘야됨?
리만스틸체스는 LCDT 등이 성립하는것만 봐도 극한 연산이랑 아주 잘 연동되는데
미분형식을 기반으로 구성되는 적분도 그럼? 어차피 미분기하에서 쓰는 놈일텐데 극한연산이랑 얽힐 일은 많을거아냐 물론 매끄러운 애들이 관심사겠지만 그래도 극한이랑 잘 연동되느냐는 해석학적인 문제는 발생할거같은데
미분형식도 말이야 자연스러운데 결국 적분 정의해서 well-defined인거 체크하려면 local chart 잡아서 R^n으로 옮기고 partition of unity써서 염병해야되니까 사실상 Lebesgue measure를 좀더 일반적인 공간에 보냈다고 보는게 맞는것 같고 - dc App
다양체보다 좀더 일반적인 위상공간에는 Radon measure같은게 있다고 듣긴 했는데 나는 실변 던져서 잘 모르긴 함 - dc App
그렇구나 그냥 적분을 정의한다고만 생각했는데 방향성이 달라서 결국은 둘 다 써먹을 수 있는거네 르벡은 R^n 에서의 적분을 complete하게 만들어주는거니까 R^n 안에서 진화하는거고 미기에서 말하는 form 은 R^n 을 다양체로 갖다놓는거고. 결국 진화한 적분을 다양체 위로 보내면 되는거네