Prime element 또는 Irreducible element 를 보존하는 사상말임 ㅇㅇ ideal 아니고


이 궁금증이 발생한 이유를 설명하자면

surjective ring homomorphism 이기만 하면 ideal, prime ideal, maximal ideal 은 상으로 보내든 역상으로 보내든 전부 보존되더라구


근데 PID 에서는 irreducible element 와 prime element 가 같은말이고,

더 나아가서 prime ideal 이 maximal ideal 이잖음


그래서 순간 다음과 같은 동치관계가 생길줄알았는데


R,S : PID

φ : R -> S

φ is surjection


then


(1) p is prime


<=>


(2) p is irreducible


<=>


(3) <p> is maximal


<=>


(4) <φ(p)> is maximal


<=>


(5) φ(p) is irreducible


<=>


(6) φ(p) is prime



문제는 (3) <=> (4) 가 틀렸음

φ(<p>)=<φ(p)>

가 성립 안할수도 있으니까.


내생각에 PID 면 꽤 강한 조건이라고 생각했는데도 안성립하는거보니까

prime, irreduci 를 보존한다는게 꽤 강한조건이구나 하는 생각이 들었음.


그래서 검색을 해봤는데 만족할만한 얘기를 못찾았음


꼮 1:1 correspondence 가 아니어도 되니까

p is prime / irreducible => φ(p) is prime / irreducible

을 만족한다거나


아님 φ^-1 ({p}) contains at least one prime / irreducible 이라거나


어떤식으로라도 irreducible element 또는 prime element를 추적하는데 도움되는 정리가 없을까