일단 학부 미기 공부하기 전에 스피박으로 differential form 쪽 봤었는데 wedge나 form 정의하는 거는 솔직히 증명 논리만 따라갈 수 있고, 왜 이런식으로 정의하는지? 그런 직관들이 안섰는데
미기 공부하면서 tangent plane이나 df_p? (differential of f at p, directional derivative)(책마다 노테이션이 좀 다른 거 같음)의 직관을 얻긴 했는데 이 직관이 differential form의 직관이나 모티베이션 같은 건가?
이런 얘기를 하는 이유는 공부할 때마다 dx, dt, df 이렇게 쓰고 넘어가는데 그게 너무 불편해서… 일단 지금은 저렇게 따로 쓸 수 있도록 정의한 거라고 생각하고 넘어가긴 했어.
코멘트나 조언좀
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결국은 "무한소 비슷한거" 임
1-form의 직관을 얻기위해서 wedge product가 필요하진 않음. wedge product는 2,3-form 으로 올라가는 과정을 예쁘게 만들어서 determinant가 나오게 설계한거라고 생각해도 됨. 왜 determinant냐? 결국 길이나 넓이나 부피를 재는 함수는 "적당히 선형적" 함수인데 그런 함수는 행렬식의 상수배로 유일함. 그보다 더 본질적인 뭔가 이유가 있을지도 모르겠지만 난 그렇게 받아들임
df라는걸 통해서 우리가 하고싶은거는 결국은 미분임. 다시말해 선형적인 변화를 보고싶은거임. 미분연산 자체가 선형적이니까. 근데 어떤 의미에서의 미분이냐? f(p)가 있다 치면 점 p에서 방향 v로 f(p+tv) 만큼 쬐끔 움직이는 그 초기에 f가 얼마나 변하냐? 를 보고싶은거임. 결국 그 d/dt(f(p+tv)) t=0 이 궁금한거임.
v=(v1,v2) 라고 할 때 그냥 체인룰에 의해서 af/ax v1 + af/ay v2 잖음? 근데 굳이 그걸 이렇게 쓰고싶은거임 af/ax dx + af/ay dy
마치 v1자리에 dx를 쓰고, v2자리에 dy 를 쓴 것 처럼. 대체 그게 뭐하는짓이냐? 두 식의 차이를 보려면 정확히 써야되는데
d/dt(f(p1+tv1,p2+tv2)) t=0 = ( af/ax )(p1,p2) v1 + ( af/ay )( p1,p2 ) v2
df(v_p)= ((af/ax) dx)(v_p) + ((af/ay) dy)(v_p)
첫번째 d/dt 로 시작하는 표기를 다 풀어낸걸 살펴보면 걍 불편함. af/ax 에는 (p1,p2)가 대입되고, 그 옆엔 vi가 그냥 곱해져있음. 누가 그 이유를 물어보면 뭐라고 대답하겠음? '그냥 그런거잖아' 라고 할수밖에 없지 뭐. R^2에서 v_p 안에는 정보가 4개 들어있는데(v에서 2개 p에서 2개) 그냥 우리가 써먹던 함수와 그 편미분만 써서는 그 vp 중 어떤 성분을 af/ax 에 넣어야하는지, 어떤놈들 af/ax옆에 곱해야하는지 기호를 통해 형식적으로 나타낼수가 없음. 그냥 "당연히" 그런건 아는데, 기호화를 못하는게 불-편한거고 그래서 이걸 해소하기 위한 "형식적인" 함수를 만들어내는것 뿐임.
그 형식이 바로 dx, dy임. dx는 벡터를 받아서 그 벡터의 x좌표만 뱉는 애고 dx(v_p)=v1 dy는 벡터를 받아서 그 벡터의 y좌표만 뱉는 애고 dy(v_p)=v2 좀 더 중요한 부분을 짚자면 벡터장의 기저 u1=(1,0), u2=(0,1) 이 있을 때 얘들이랑 짝짜꿍하는 dual space의 예쁜 기저를 dx,dy 라고 하는거지. 이런 점에서 예쁘다고 하는거고 : dx_i (u_j) = 1 iff i=j, otherwise 0
결국 존나길게 설명하긴 했지만 좆도없음. 그냥 형식임. directional derivative ∇_v f(p) 는 사실 1학년 미적분 시간에도 쉽게 정의되는 함수임. 근데 표기상의 한계때문에 "어떤 점에서 어떤 방향으로" 미분하는지가 명확하지 않으면 뭔가 애매함. 굳이 쓴다면 (∇f)(p) • v 이렇게 내적을 사용해서 나타내야되잖음. 저 값을 연산하기 위해 두개의 빈칸을 채워야됨. (∇f)(◇) • ♧ 이게 "하나의 함수" 인 것 같긴 한데, 뭐라고 쓰기가 애매하지. 그리고 dual space끼리는 내적으로 만나주는게 인지상정인데 저건 (∇f)(p) 랑 v 가 만나버린거잖아. 우린 ∇f 랑 v_p 가 만났으면 좋겠는데 말이야.
"그럼 쉬펄 그냥 (∇f)(v_p) 라고 써버리지 뭐가 고민임?" 라고 생각했다면 그게 정확히 맞음. 그런 맥락에서 ∇f 는 df에 대응되는거임. 물론 너가 말한거처럼 거기다가 wedge product 를 뿌려서 추가적으로 2form 3form 을 더 만들긴 하지만, 결국은 우리가 쓰는 R^3 벡터장의 기호로 다 치환 가능한 것들임.
df는 뭐다? v_p 를 실수 df(v_p)로 보내주는 선형적인 함수다. dx,dy에 상수배(함수배)하고 더해서 나타낼 수 있다.
df(v_p) 는 뭐다? p에서 v방향으로 좀 간 함수 g(t)=f(p+tv) 의 t=0에서 도함수값이다, 즉 f의 총 변화 Δf(t)=f(p+tv)-f(p) 중에서 선형적인 변화율, 또는 t=0 테일러전개시 t의 계수(미분값) 만 뽑아낸거다