컨텍스트를 우선 전달드리면,


저는 해석학(혹은 학부 수학 전반)에 대한 백그라운드가 거의 없는 공대 출신이고

짤은 공대생 대상의 텍스트북의 부록에 있는 내용인데요.

르벡적분을 모를 수 있는 독자를 위해 간략하게 소개하는 부분의 초반부입니다.

(zero measure와 converge almost everywhere를 소개한 직후 내용입니다.)



제가 이해 안가는 부분을 설명하자면,


거의 모든 곳에서 f에 수렴하는

piecewise constant function인 f_i의 함수열이 존재할 경우에

f가 measurable function이라고 하는데요.


처음에는 리만적분 하듯이 f의 그래프를 직사각형으로 분할해서

그 윗변의 집합을 함수값으로 갖는 piecewise constant function을 f_i라고 할 때,

무한하게 분할을 계속했을 때 f_i가 f에 근접해가는 느낌인건가 라고 어렴풋이 생각을 했습니다.


근데 piecewise constant function은 정의에 따르면 유한한 partition을 갖는다고 하니

그러면 처음 생각한 것처럼 분할이 늘어나는 방식으로 함수열이 수렴하는 게 아닌 것 같더라고요.



그래서 질문은,


왜 measurable function을 정의하는데

하필 piecewise constant function의 함수열의 수렴을 사용한 것인지 궁금하고,

measurable function의 정의를 어떻게 이해하는 게 좋을지 도통 모르겠네요.

위 방식으로 표현되는 간단한 예시는 없을까요?