좀 장황하겠지만, 함축하면 제목에 적은 그대로 입니다.

핵심포인트는 굵은 글씨로 했습니다.
답변이 느릴 수 있습니다. 미리 양해 부탁드리겠습니다.



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<정의>
반군(semigroup)은 군(group)을 일반화한 개념입니다.
공집합이 아닌 집합 S 위에서, binary operation이 존재하고, 이걸 f라고 합시다

즉, f는 S^2 -> S 인 함수일 뿐이지요.
이 f가 associative 일 때, 우리는 S를 semigroup이라고 합니다.

group에서 그러는 것처럼, 우리는 정의역의 원소 (a,b)를 f에 넣었을 때 나오는 함숫값을

f(a,b)라는 표기 대신 그냥 간단히 ab라고 씁니다.



즉, 일반적인 group과 달리, semigroup은 항등원이나 역원의 존재성이 필요 없고,

그저 이항연산이 결합법칙만 만족하면 됩니다.

반군(semigroup) S에서, 어떤 원소 e가 S의 모든 원소 x에 대해서

ex = x 를 만족하는 경우, e를 left-sided identity (혹은 왼쪽 항등원)이라고 하고

xe = x 를 만족하는 경우, e를 right-sided identity (혹은 오른쪽 항등원)이라고 합니다.
left-sided와 right-sided 중 한 쪽을 만족할때는 one-sided identity,
양쪽 모두를 만족하는 경우는 two-sided identity라고 합니다.



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<발상>
이 semigroup이 좀 더 구체화되어서 모노이드(monoid), 혹은 더 나아가서 군(group)이 된다면,
아예 정의 자체에 "Every identity should be two-sided." 가 되긴 하지만,

저는 semigroup에서도 one-sided인 경우를 생각해보려고 했습니다.



그 결과, 저는 semigroup들을 다음과 같이 분류하는데 성공했습니다.
(예시랑 증명까지는 진짜 길어져서 전부 참고사항에 적어놓겠습니다)

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1) left와 right 어느 방향으로도 identity가 없는 경우


2-a) left-sided identity가 2개 이상 존재하고, right-sided identity가 없는 경우

2-b) right-sided identity가 2개 이상 존재하고, left-sided identity가 없는 경우


3-a) left-sided identity가 1개뿐이고, right-sided identity가 없는 경우

3-b) right-sided identity가 1개뿐이고, left-sided identity가 없는 경우


4) left-sided identity와 right-sided identity가 전부 존재하는 경우

(이 경우는, 모든 항등원은 같아지고, 양방향이 되기 때문에, 반군(semigroup)은 모노이드(monoid)가 된다)

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<질문>

자 이제, inverse를 정의할 차례인데,
여기서 semigroup의 경우 2-a) 와 2-b)의 경우에서 문제가 생깁니다.

항등원이 비록 한방향이여도, 갯수가 하나라면 inverse를 정의하는데 있어서 큰 문제는 되지 않습니다.

왜냐하면 그 항등원에 대해서 left-sided inverse와 right-sided inverse를 어쨌든 정의하면 되니까요.

하지만, 항등원이 2개 이상이 되면 각 항등원마다 inverse를 정의를 해줘야 합니다.

(왼방향 항등원1의 왼방향 역원2, 왼방향 항등원1의 왼방향 역원2,

왼방향 항등원2의 왼방향 역원1, 왼방향 항등원2의 왼방향 역원2 이렇게 말입니다.)

이것까지 일일히 정의하는것이 중요한 역할을 하는 경우가 있을까요?

저는 범주론(category theory)에서 쓸모는 어느정도 있을거 같은데,
(사실 거기는 morphism들이 associative한거 이외에도 양방향 항등원이 존재하므로 모노이드에 더 가깝긴 하죠)

범주론에서도 얼마나 쓸모있는지, 그리고 범주론 이외에 다른 어떤 분야에 쓸만할지 모르겠습니다.


혹시 대략적으로나마 아시는 분 있나요?


















<참고사항>

1) left-sided identity도 없고 right-sided identity도 없는 semigroup의 예시 :

정수의 부분집합 중에서, 양의 정수이면서 2의 배수인 집합만 모은 부분집합을 생각하면,

덧셈에 대해서 semigroup이 되지만, 항등원은 존재하지 않는다(한방향조차도!).



2-a), 2-b) left-sided identity가 2개 이상 존재하고 right-sided identity가 존재하지 않을 경우.

어차피 2-a)와 2-b)는 같으므로 2-a)만 다뤄본다.


첫 번째 예시는, 0이 아닌 유리수의 집합을 {Q^*}라고 쓰고 이 집합에서의 binary operation f를

f(a,b) = 절댓값(a)와 b의 곱 으로 정의하는 것.
이 때, f가 associative한 것도 보일 수 있고, left-identity는 1과 -1의 두가지 지만, right-sided identity는 존재하지 않는다.


그리고, left-identity가 1일 경우, 모든 원소는 unique right-inverse를 가지지만,
양수는 left-inverse가 2개이고, 음수는 left-inverse가 존재하지 않는다.

반대로, left-identity가 -1일 경우, 모든 원소는 unique right-inverse를 가진다는 것은 변함이 없지만,

양수는 left-inverse가 존재하지 않고, 음수는 left-inverse가 2개이다.

두 번째 예시는, 예전에 질문했던 https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view?id=math&no=52658 링크에 있는 것처럼,

모든 성분이 정수인 2x2 행렬의 집합 중에서, 아래 행의 성분이 전부 0인 행렬들의 모임을 부분집합으로 만들고,

그 부분집합에 대해서 binary operation을 일반적인 행렬곱으로 주는 경우이다.

이 경우는 (1,1) 성분이 1이고 (1,2) 성분이 아무 정수나 넣으면 즉시 left-sided identity가 되고,

이 행렬들은 two-sided는 아니다.
그리고 left-identity를 어떤 것으로 하냐에 따라서, left-inverse와 right-inverse는 천차만별로 달라진다.




3-a) 3-b) left-sided identity가 1개뿐이고, right-sided identity는 없는 경우.

이 예시는 위의 행렬 예시를 조금 응용합니다.

모든 성분이 정수인 2x2 행렬들의 집합에서 A,B,O라는 행렬 3개를 뽑습니다..

A는 (1,1) 성분만 1이고 나머지는 0, B는 (1,2)성분만 1이고 나머지는 0, O는 모든 성분이 0인 행렬, 즉 영행렬입니다.

이때, 집합 S를 S = {A,B,O}로 하고, S위에 이항연산은 행렬곱으로 해 봅시다.

그러면 곱셈의 모든 경우의 수를 구해보면

AA = A, AB = B, AO = O

BA = O, BB = O, BO = O

OA = O, OB = O, OO = O


가 되므로, A만이 유일한 left-identity가 되고, right-identity는 아닙니다.

또한, 이 유일한 one-sided identity에 대해서 left-inverse, right-inverse를 생각할 경우,

A의 left-inverse와 right-inverse는 A 자신이 되지만, B나 O의 left-inverse와 right-inverse는 존재하지 않습니다.



* 추가적으로, 일반적인 semigroup이면 위의 예시처럼 left-identity가 unique하게 존재하고 right-identity가 없는 경우가 있지만,

환(ring)의 경우에는 이런 경우가 존재하지 않습니다.
즉, 어떤 환 R의 원소 e가 곱셈에 대해서 left-sided identity이고, e 이외에는 곱셈에 대한 left-sided identity가 존재하지 않는다면,

e는 반드시 two-sided여야 합니다. 이것 역시 제가 예전에 질문했던 글에서 다른 분이 대답해주셨습니다.

https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view?id=math&no=52658

One-sided unity가 하나만 존재하는 ring이 뭐가 있을까요?질문은 제일 아랫쪽에 있습니다.Ring에서 곱셈에 대한 항등원(multiplicative identity)는 대개 양쪽 방향으로 원래 원소를 보존해주는 원소를 말하죠?예를들면 ring을 R이라고 쓰면, R의 모든 원소gall.dcinside.com


이 때, R의 모든 원소 r에 대해서 re = r임을 증명하고 싶습니다.

만약 re 와 r이 같지 않은 r이 존재한다면, re-r는 0이 아니므로, re-r+e와 e는 같지 않습니다.

이 때, R의 임의의 원소 x에 대해서 (re-r+e)x를 계산해보면
(re-r+e)x = rex-rx+ex = rx-rx+x = x가 되므로, 결국 re-r+e 또한 left-sided identity가 됩니다.

이는 e가 유일한 left-sided identity라는데에 모순입니다.

그러므로 가정이 틀렸고, re와 r이 달라지게되는 r은 존재하지 않습니다. 즉, e는 right-identity입니다.



4) 어떤 semigroup이 left-identity를 가지고 right-identity를 가지게 되면,

이 둘은 같고, 이 외의 identity는 아예 존재하지 않습니다.

왜냐면, left-identity 중 하나를 x, right-identity 중 하나를 y라고 합시다.

그러면 각자의 정의에 의해 x = xy = y가 되고, 따라서 둘은 같고 two-sided identity가 됩니다.

추가로 만약 다른 left-identity가 존재한다고 하면, 그걸 a라고 놔둘 경우

a = ax = x가 되고,

만약 다른 right-identity가 존재한다고 하면, 그걸 b라고 할 경우

b = xb = x가 되므로, 모든 identity는 x(=y)와 같습니다.

즉, 항등원은 x(=y=a=b)로 유일하게 존재하고, two-sided 입니다.


그리고, 등록하려고 하는데 이 메시지 자꾸 뜨는데 도대체 뭐가 문제여서 그러는 걸까요?

제가 본래 left-sided identity와 right-sided identity라고 글을 죄다 썼었는데,
도저히 저 문구를 해결할 수 없어서 전부 양방향 / 한뱡향으로 고쳐 쓴 후에 다시 원래대로 썼습니다....