[일반] 선형대수 행렬 부호 질문

[익명(223.38)]

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[수갤러 1(175.196)]

질문의 의도를 정확히 모르겠으니 일단 제가 이해한 대로 써볼께요, 저 행렬의 (1,1) 성분은 -1, (2,2) 성분은 1 이고 나머지 성분은 0 이기 때문에, 행렬의 고윳값(eigenvalue)는 1과 -1이 나옵니다. 따라서 양한정이 아닙니다. 그리고 1번째 주부분행렬은 (1,1) 성분인 -1 뿐이므로 행렬식은 -1, 즉 음의 값이죠. 2번째 주부분행렬은 원래 행렬 그 자체이므로 행렬식이 그대로 -1, 즉 음의 값이죠. 따라서 음한정도 아닙니다.

[수갤러 2(222.109)]

넵 제가 물어보고 싶은건 고유값만으로 판단했을 땐 행렬이 부정인데, 정리 7.3.4 (c)에 따르면 행렬이 양한정음한정부정 중 어떤 것도 아니라고 나와서 이상하단 거였어요..

[수갤러 1(175.196)]

그럼 남은 것은 (c)의 경우인 부정일 경우를 체크하는건데, 지금 사진에서 보면 '이고'를 '이거나' 로 바꾸셨습니다. 일단 그걸 믿고 따라가겠습니다. 고치신 바에 의하면, 주부분행렬들의 행렬식 중에서 아무거나 양이거나 아무거나 음이면 된다는 거죠. 근데 우리가 아까 구했다시피 적어도 1번째 주부분행렬의 행렬식은 음의 값이죠. 따라서, 부정형이 됩니다. 물론 이건 고치신게 맞다는 전제하에서 말한겁니다. 대칭행렬인건 뭐..맞겟구요. transpose해서 원래랑 같은것이 대칭행렬의 정의였으니까요.

[수갤러 2(222.109)]

"이거나"로 바꾼 건 정오표에 따른 게 아니라 제가 임의로 바꾼 거예여ㅋㅋ ㅈㅅ 고치기 전의 서술대로 판단했을 때 부정이 아니라고 나와서 질문했던 거예여

[수갤러 1(175.196)]

애초에 저 판정법에 '증명하지는 않을것이나' 라고 나와있지만, 증명을 직접 찾아보고 정확한 기준을 알아내야 판단하기가 좋을 것 같습니다. 고치신 부분은 상당히 결정적인거라서요. 혹시 행렬이 양한정, 음한정, 부정 이 3가지 이외에 다른 경우는 없나요? 그리고, 반드시 이 3가지 중에 1가지만 가져야하나요?

[수갤러 2(222.109)]

그러면 "이고"를 맞다고 가정하면 부정이 아니게 되는 게 맞지 않나요..? 그러면 책이 잘못 쓰여진 건가..

[수갤러 2(222.109)]

음 행렬의 부호가 그 세가지로 유일하다는 서술은 없는데 이뿐으로 보는 게 맞을 것 같아요..

[수갤러 1(175.196)]

저도 선대에 대한 지식이 많지 않아서, 한번 더 찾아보겠습니다.

[수갤러 2(222.109)]

행렬에 부수된 이차형식이 영보다 항상 크면 양한정, 영보다 항상 작으면 음한정, 영보다 클수도 작을수도 있다면 부정이라고 정의된 거라..

[수갤러 2(222.109)]

넵 감사합니다ㅎㅎ

[수갤러 1(175.196)]

위키피디아에서 definite matrix를 검색해서 본래 정의, 그리고 고윳값(eigenvalue)를 읽어보고 약간의 계산을 한 결과, 저 행렬은 부정형(indefinite)이 맞습니다. 영어가 조금 힘드시다면, 한국어 위키백과에서 '정부호 행렬'을 검색하셔서 읽으시는게 맞습니다. 양한정과 음한정의 정의에서, 각각보다 조금 약화된 조건인 '양-준한정', '음-준한정' 이란 상태가 존재하는데, 부정형은 양한정도 음한정도 아닌 경우로 정하는 것이 아니라, '양-준한정', '음-준한정' 이 아닌 경우를 말하는 것입니다.

[수갤러 1(175.196)]

참고로 '양-준한정' 이란 단어와 '음-준한정' 이란 단어는 positive semi-definite, negative semi-definite' 을 제가 멋대로 번역해서 표현한 것이고, 위키백과에는 한글로 다르게 써져있습니다. 모든 성분이 실수인 대칭행렬의 경우에 1) 고윳값이 전부 양수인 경우는 양한정 입니다. 2) 고윳값이 전부 음이 아닌 실수인 경우는 양 준한정 입니다. 따라서 양한정이면 양 준한정이지만, 역은 성립하지 않습니다. 3) 고윳값이 전부 음수인 경우는 음한정 입니다. 4) 고윳값이 전부 양이 아닌 실수인 경우는 음 준한정 입니다. 따라서 음한정이면 음 준한정이지만, 역은 성립하지 않습니다.

[수갤러 2(222.109)]

정확한 답변 감사합니다. 그러면 정리 7.3.4 (c)는 잘못 서술된 게 맞는 것 같네요

[수갤러 2(222.109)]

모든 주부분행렬의 행렬식이 음수가 되더라도 부정일 수 있으니

[수갤러 1(175.196)]

5) 고윳값중에서 양수와 음수가 전부 있는 경우를 봅시다. 양수가 있기 때문에 음 준한정도 아니고, 음한정은 더더욱 아니죠. (음 준한정중에 일부만 음한정이니까요) 음수가 있기 때문에 양 준한정도 아니고, 양한정도 더더욱 아니죠. (양 준한정중에 일부만 양한정이니까요) 이렇게 양-준한정도 아니고 음 준한정도 아닌 경우는 우리가 부정형(indefinite)이라고 합니다. 위에 보여주신 2x2행렬은 고윳값이 1과 -1이므로, 바로 이 5번에 해당합니다. 따라서, 이 행렬은 부정형이 맞습니다.

[수갤러 1(175.196)]

6) 마지막으로, 고윳값중에 양수도 음수도 없는 경우를 봅시다. 이 말은, 모든 고윳값이 0이라는 거겠죠. 이런 행렬중에서 대칭까지 성립하는 행렬을 생각해야하니, 우리는 당장 생각나는 행렬은 영행렬(=모든 성분이 0인 행렬)을 생각 할 수 있군요. 이 행렬의 경우에는 양-준한정이면서 동시에 음-준한정이 됩니다. 여기까지 고려하면서, '고윳값의 존재'에 대해서 생각해야하는것이 정확히 기억하는 길인 것 같습니다. 이상입니다!

[수갤러 1(175.196)]

이상입니다! 라고 해놓고 한가지 더 적어야한다는 것을 까먹었네요. 모든 고윳값이 0인 실수대칭행렬 (예시로 들면 영행렬)이 음-준한정 이면서 양-준한정이라고 6)에서 제가 적었죠? 그 진술을 좀 더 디테일하게 말하면, 이 행렬은 음-준한정도 맞고 양-준한정도 맞습니다만, 음한정 행렬도 양한정 행렬도 아니게 되죠. 이것까지 생각해서 그림을 그려보시면 될거 같습니다.

[수갤러 1(175.196)]

사족 단 김에 조금만 더 달겠습니다. 저 정리 7.3.4에서는 주부분행렬(principal submatrix)까지 생각해서 음한정/양한정을 판단하였는데, 주부분행렬이란 개념을 괜히 끼여서 저 7.3.4를 이해하기 어렵게 만드는 것 같습니다. 새로운 개념을 도입하는것이 어떤 정리를 보는 색다른 시각일 수는 있지만, 당장 시험이 급하거나 판별법만 알아야한다면, 지금은 고윳치(eigenvalue)만 가지고 하는 것이 좀 더 직관적이고 쉽지 않나? 라고 생각하는바입니다.

[수갤러 2(222.109)]

넵ㅎㅎ 되게 친절하시네요 감사합니다. 교재의 서술로는 정확히 판정이 안 되네요 증명 좀 더 찾아볼게요

[MetaFibonacci(equivalence)]