[일반] 실해석 질문

[익명(211.36)]

f가 L인피닛일때 임의의 입실론에 대해서
f-g의 L인피닛 norm이 입실론보다 작게 되는 simple function g가 존재한다
이거 거짓이라는데 반례를 어케 찾을까요..

[익명(112.171)]

dirichlet function 안되나?

[익명(113.60)]

거짓이아니라 참아니냐?

[겨울_(silhouet72)]

f는 사실상 bdd.니까 그냥 bdd.라 하고, f-s=(f+M)-(s+M)이니까 그냥 처음부터 0<f<M이라 할 수 있음. 근데 nonnegative bdd. meas'l ft.는 simple ft.에 의해 uniformly 근사되니 명제가 잘 성립하고 반례도 없어요

[익명(115.69)]

f가 Simple function으로 a.e.에서 유니폼하게 근사된다고 저 명제가 바로 참은 아닌 것 같은데요. 전 저 명제가 참인지 거짓인지는 모르겠지만

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

a.e에서 uniform 근사면 말그대로 끝인데; L inf norm을 잘못알고있는게 아니면야

[익명(115.69)]

난 질문자도 아니고 실해석 배운지도 엄청나게 오래됐지만 l infinite 정의는 기억하고 있음. 하지만 (pointwise) uniform convergence로부터 본문 명제가 어떻게 바로 도출되는지는 모르겠네

[익명(115.69)]

아, 아니다. 당연하군. 역시 배운 지 너무 오래돼서 착각했나봐

[익명(113.60)]

근데 uniformly 근사되는걸 어케보임? 그걸 보이면 끝이잔아 pointwise 근사되는건 알지만

[겨울_(silhouet72)]

이건 기본적인 건데.. 집합 A(k)를 ke=<f(x)<(k+1)e인 x들을 모아놓은 집합으로 두고 s를 A(k)에서 ke 값을 가지게 잡으면 f가 bdd.라서 s가 기껏해야 유한 개의 값만 가지니 simple이고 s-f의 inf norm이 e보다 작아짐

[익명(88.144)]

어차피 f-g의 L^infty norm 따지는거니까 measure zero인 부분은 무시해도 되니 편의상 f를 bounded라 가정할수 있고 f를 양수인 부분과 음수인 부분으로 나눠서 생각하면 되니까 적당히 f를 어떤 실수 M>0에 대해서 0<=f<=M을 만족하는 함수라고 볼 수 있고, 적당히 M/N < epsilon인 N을 잡아서 0<=i<=N에 대해서 X_i를 iM/N <= f(x) < (i+1)M/N을 만족하는 x의 집합으로 두고, X_i 위의 characteristic function 이용해서 simple function 만들면 되잖음.

[익명(88.144)]

실제로 임의의 1<=p<=무한과 L^p function f, 그리고 임의의 epsilon>0에 대해서, L^p simple function g가 존재하여 항상 g와 f의 함수값의 sign이 같고, |g|<=|f|를 만족하고 f-g의 L^p norm을 epsilon 이내로 항상 줄일수 있다는걸 쉽게 보일수 있음.