[일반] 임의의 두 구간 사이에 항상 전단사함수가 존재한다

[익명(116.34)]

이거 증명 어케해야댐? 실수의 완비성이나 순서체, 기수 같은거 안배웟는데 그냥 대충 구간 개, 폐, 반폐로 암거나 잡고 일반성 안잃는다하고 함수 암거나 찾아도댐?

[Affine(algebra500)]

구간이라는게 (a,b) 에 a나 b정도 추가한 집합 얘기임?

[익명(116.34)]

ㅖ

[Affine(algebra500)]

가령 열린구간끼리, 닫힌구간끼리는 쉬움. 직선이면 충분함. 만약 반열린 구간에서 반열린 구간으로 가는 직선이라면 어파피 (a,b)에서 한 점씩 늘어난거니까 그 점끼리만 대응시켜주면 전단사임. 이제 나머지가 문제인데 가령 (0,1]->(0,1) 의 전단사는 어떻게 만들까? 여유공간 하나만 마련하면 됨. (0,1) 안의 수열 x1=0.1 x2=0.01 x3=0.001 을 생각함. 그리고 이런 함수를 만듬. f(xn)=x(n+1), 나머지는 그대로 그럼 f는 (0,1) 을 정의역으로 (0,1)-{0.1} 을 치역으로 하는 전단사함수임. 이제 (0,1]->(0,1) 로 가는 전단사 φ를 만들 수 있음. x가 1미만이면 φ(x)=f(x)로 정의하고 φ(1)=0.1 이라고 하면됨

[익명(116.34)]

그치 같은 위상의 집합이면 걍 직선꼴로 잡으면 바로되네

[Affine(algebra500)]

여유공간 두개 필요하면 다른 수열 하나 더 잡아서 여유공간 두개 만들어주면 됨. 모든 구간은 모양유지시킨채로 0에서 1까지의 구간으로 만들 수 있으니까 증명은 다한거

[갱생리카(lillollool)]

임의의 열린구간과 실수전체사이 전단사는 탄젠트나 유리함수가지고 쉽게 만들어낼수있음. 임의의 (공,한점집합아닌)구간은 부분 열린구간 포함하고 실수집합에 포함되니까 베른슈타인 조지면 나옴

[갱생리카(lillollool)]

나온다는게 구간이 전부 실수와 전단사 존재한다는게 나온다는거

[익명(116.34)]

ㅇㅎ 혹시 혼자서 계승혁 집합론 공부중인데 이진법 전개라는 말이 나왔는데 이게뭔줄알어??

[갱생리카(lillollool)]

실수x를 (a_n)2^n의 합꼴로 나타내는거임 완비성 이용하면 임의의 x에대해 대응하는 a_n의 존재성이 나옴

[익명(116.34)]

아 무한급수얘기야?

[갱생리카(lillollool)]

일반적인 실수의 이진 전개면 무한급수로가겠지. 좀 설명 덧붙이자면 a_n은 0또는1이고 n은 정수범위에서 움직임. 음의방향으로 무한일수있고 양의방향으로는 어느항이후로는 무조건 다 0임. 이때 음의방향으로도 어느항이후로는 0이라면 유한 이진법 자릿수를 가지는 놈인거고

[익명(116.34)]

이거 실수의 완비성가면 배우나?

[갱생리카(lillollool)]

해개에서 연습문제정도로 다룰만한내용같음

[갱생리카(lillollool)]

구글링해도나올듯

[익명(116.34)]

굿

[수갤러 1(123.254)]

임의의 구간과 [0,1] 사이의 전단사만 보이면 충분하지 않나