[대학교이상] 점별수렴 균등수렴 관한 질문

[익명(112.170)]

점별수렴이지만 균등수렴은 아닌 예로 fn(x)=x^n, xE[0,1) , f(x)=0 이 자주 사용되는데요

여기서 e=0.5로 잡으면 (0.9 ……… 9)^n<0.5 를 만족하는 n>=n0 인 n0은 왜 존재하지 않나요..?

[수갤러 1(123.254)]

x∈[0,1)과 n>N이면 |x^n|<1/2인 N이 존재한다 할 때, 특별히 n=N+1일 때 x∈[0,1)이면 x^(N+1)<1/2이 성립해야함 여기서 x가 1에 얼마나 가까워지면 x^(N+1)<1/2가 성립 안 하는지 해보셈

[익명(112.170)]

x^N+1>=1/2 라 가정하면 x>=2^-1/N+1 에서 성립함을 알수 있습니다. 근데 이러면 저 범위를 만족하는 x에서 fn(x)

[익명(112.170)]

점별수렴하지 않는것 아닌가요?

[수갤러 1(123.254)]

점별수렴은 점 하나를 고정시켜서 하는거니까 x'∈[0,1)로 고정시키면 lim n→oo, x'^n=0이어서 점별수렴은 맞음

[수갤러 1(123.254)]

점별수렴은 점 하나만 보면 되지만 균등수렴은 n이 충분히 크면 함수 f_n(x) 전체가 정의역 안에서 f(x)-e, f(x)+e 사이로 들어가야함

[수갤러 2(49.142)]

(1 - 1/2n)^n -> 1/sqrt(e) > 0.6