아무튼 대각화가 짱이고 대각화가 안되면 jordan form이라도 구할라고 decomposition theorem들 여러개 보이고 inner product도 새로 재정의하고(고딩때 느낌에서) 막하는데
뭔가 맥락이 잘 안보이네요 이거 대체 왜하는거임? 이런 생각
인공지능쪽 깊게 안들어가서 그런가 고딩수준의 행렬 벡터느낌만 알아도 다 알아먹어지는데 이거 왜하나 싶은 생각이 듭니다
컴공 수학 복전이라 선대가 ㄹㅇ좋다라해서 듣는 중인데 뭔가 그저그럼…느낌듭니다…
개알못같은 질문인데 답좀 해주면 좋을거같아요
행렬계산론 같은 거 들어가면 좀 와닿게 될 거 같은데
최적화에도 쓰이고, 수치해석에도 쓰이고 무궁무진해. 선대의 힘은 위로 올라가면 갈수록 느끼게 될거야
결국 다변수를 처리하는 방식은 행렬이거든
고딩 수준의 행렬이 나무 막대라면 선대는 목검쯤 되지 검을 배워보고나면 곰을 때려잡기에 나무 막대가 가끔 너무 원시적이라고 느껴질 때가 있을거임
언젠간 총이 되지요
혹시 공대에서 배웠음? 공대식 선대에서는 몇 가지 알고리즘 소개만 나와서 아예 개념도 안 잡히는게 당연함. 나도 공대생인데 그렇게 한 학기 배우고 걍 수학과 교재로 새로 했음
수학과 식 선대에서는 벡터공간을 위주로 설명해서 스토리가 다 엮임. 대각화는 걍 짱인게 아니라, 결국 선형변환의 Rank가 흰 속살 마냥 드러나는 과정이고, inner product는 벡터 공간 내부에서 수학적인거 해볼라고 구성해보는 연산, <-- 이런 식으로 느끼게 됨.
다시 글 보니까 복전이네 ;; 쏴리
결국 선형변환으로 모든게 결론이남
선대 전체가 하나의 주제인 거 아님. 학부 수준이라면 이론적 측면에선 벡터공간과 벡터공간을 서로 비교할 수 있게끔 하는 선형사상이 첫 번째 주제이고, 다른 주제는 벡터 사이의 거리를 재기위해 내적->크기->거리 순서로 이론을 발전시킴.
그런데 벡터공간에는 운이 좋게도 기저가 있어 모조리 순서쌍으로 바꿀 수 있어. 그러니 선형사상도 행렬로 변환 가능. 여기서 스토리 조금 더 나간 게 대각화. 거리 재려고 내적 도입하다보니 당연히 첫 번째 주제인 선형사상과의 관계가 궁금해지고, 그 둘을 섞어버린 게 무슨 허미션이 어쩌고 직교대각화니 등등.
반대로 데이타과학에서라면, 행렬분해가 가장 중요한 토픽일 수 있음. 대각화도 행렬분해로 이해, LU, SVD 등 모두. 그걸 왜 하느냐 왜 되느냐의 밑바탕에 위 두 이론적 주제가 깔려 있고.
선대가 짱쎈 이유는 미분이 선형이기 때문이라고 생각함
무기고를 채워간다고 생각하시는게
계산적 측면에서 대각화/조던폼은 행렬의 거듭제곱을 매우 쉽게 계산할 수 있어요. 간단하게 10x10대각행렬의 제곱을 계산할때는 곱하기연산 10번만 하면 되지만, 일반적인 행렬은 10^10만큼 해야함. 이론적으로 조던폼은 행렬의 (또는 선형변환의) 닮음을 분류하는데 씌여요. 두 행렬이 similar라는거는 basis change만큼만 차이가 난다는 뜻이고, 이는 두 행렬이 사실상 같다는 뜻이죠. '사실상 같다'라는 이야기를 이해하려면 벡터공간이 dimension에 따라서 분류가 되고, basis가 고정되면 lR^n (여기서는 사실 C^n)이랑 동형이라는걸 잘 숙지하고 있어야 되요.
벡터공간을 차원에따라 분류하는것, 선형변환을 닮음류에 따라 분류하는것, 이 두개가 선형대수학을 전반적으로 관통하는 주제이고, 내적공간 또한 그에 못지않게 중요한 주제인데,, 이건 벡터공간의 기원(동기부여)가 유클리드공간이라는데서 시작해요. 유클리드공간에서 하는 유클리드 기하학을 벡터공간으로 옮겨왔을때 길이/각도에 해당하는 정보들을 내적을 이용해서 쓸 수 있어요. 그냥 우리가 알고있는 dot product말고 굳이 내적을 쓰는 이유는, dot product를 이야기 하려면 basis가 필요하기 때문이에요.
지금 글 쓰면서 드는 생각이,,, 앞부분에서는 basis가 무지 중요하고 벡터공간의 동형에 대해 모든걸 알려주지만, 점점 'basis에 의존하지 않는 성질들'을 공부해나간다는 점에서 선대가 마냥 쉬운 과목은 아닌거 같네요,
첫번째 댓글에 개소리했네 10^10번이 아니고 10x10x10 번 인거 같아요. 물론 이거도 10번에 비해서는 무지 큰수