수학과는 아니고....
대학교 미적분 들은지 쫌 오래되어서 자세한건 까먹어서 개념다시 복습할려고 찾아보는 중인데
근데 인터넷이나 자료 찾아봐도 테일러 급수를 설명할 때
e^x, sinx, cosx 처럼 무한 미분 가능한 함수를 다항식으로 나타낼 수 있다고 "가정" 하고 함수를 급수로 나타내는 법을 설명하는데
근데 가정을 하고 sinx를 급수로 나타내고 끝나는데
애초에 그 나타낸 급수가 sinx와 같다는걸 어떻게 증명함?
대학교 미적분 들은지 쫌 오래되어서 자세한건 까먹어서 개념다시 복습할려고 찾아보는 중인데
근데 인터넷이나 자료 찾아봐도 테일러 급수를 설명할 때
e^x, sinx, cosx 처럼 무한 미분 가능한 함수를 다항식으로 나타낼 수 있다고 "가정" 하고 함수를 급수로 나타내는 법을 설명하는데
근데 가정을 하고 sinx를 급수로 나타내고 끝나는데
애초에 그 나타낸 급수가 sinx와 같다는걸 어떻게 증명함?
six와 그 급수의 차이를 구해보면 0으로 수렴하니까 - dc App
글군... 근데 미적분 공부할때 테일러 급수 구하고 그 급수가 수렴하는지는 확인한거 같은데 그게 원래 함수와 차이가 0으로 수렴하는지는 확인해본적이 없는거 같네
Remainder나 error의 bound 계산하는 문제가 그거 확인하는건데
n차 테일러 다항식 P_n(x) 라는걸 정의한다음 f(x)-P_n(x) 가 수렴하는지를 확인함. 그 과정에서 바이어슈트라스 M 테스트가 유용하게 사용됨
멱급수함수 Σa_nx^n 은 반드시 수렴반경을(0라도) 갖는 애들이고, 평등수렴하기때문에 연속이고 미분가능하고 기타등등이 성립함을 보일 수 있음. 그 다음 무한번 미분가능한 함수 f가 있다면 a_n = f^(n)(0)/n! 로 둬서 만들어지는 멱급수함수 P(x) 가 있겠지. 근데 바로 멱급수로 가지 말고 N번째 합까지만 더한 유한합 다항식을 P_N(x) 라고 두는거임. 그렇게 해서 |f(x)-P_N (x)| 가 N이 무한으로 갈 때 수렴하는지를 확인하기만 하면 됨. 그 과정은 |f(x)-P_n(x)|+|P_n(x)-P(x)| 을 확인하는 것으로 족하고, 첫번째 절댓값은 평균값정리를 잘 써먹어서, 두번째 절댓값은 P_n 이 P로 (수렴구간안에서) 균등수렴한다는 사실로부터 자연스럽게 증명됨
sin자체를 테일러 급수로 정의하면됨