미분없이
급수와 극한정의만으로
lim (1+1/n)^n = e라 정의할때
e=lim sum 1/n! 증명 어케해?
이항정리쓰면
(1+1/n)^n=sum k=0 to n n!/(k!(n-k)!n^k)
=sum k=0 to n (1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)..(1-(k-1)/n))
<=sum k=0 to n 1/k!
인데
1/k! = a_k
(1-1/n)..(1-(k-1)/n) =b_(n,k)
라 할때 k가 고정되면 lim n->inf b_(n,k)=1이고
lim sum k=0 to n a_kb_(n,k)=e니
lim sum k=0 to n a_k=e를 쓸수잇나햇더니
논리적 갭이라...어케하지
- dc official App
(1+1/n)^n 이항전개해서 식 정리해봐
이전에 그렇케햇엇는데,그러면 논리적으로 갭이생겨버림 본문썻는데읽어줘 - dc App
https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Number:_Limit_of_Sequence_implies_Limit_of_Series
lim b(n,k) 먼저 극한부분적으로취해도 문제없는이유가뭐야?? - dc App
이미 우리는 (1+1/n)^n이 수렴한다는 걸 알고 있으니까 극한의 성질 쓸 수 있음
(1+1/n)^n 전개한 급수에서 끝쪽 꼬리는 n에 관계없이 작게 줄일 수 있고 나머지 항은 각각이 1/k!로 수렴
그런데 만약 Lebesgue convergence theorem을 알고 있다면 그냥 바로 합이랑 극한 순서 바꿔도 됨
각각이 1/k!로 수렴하는건맞는데 그 수렴하는 것들을 무한히더하니까 오차가 커질수잇는거아냐? 0+0+0+...가 0이아닌거처럼.. 난 이거 뭔가 논리적비약같아가지고 자꾸애매한거같은데.. - dc App
N을 고정하면 앞쪽 N번째 항은 그냥 각각 극한 보내도 되고, 뒤쪽에 남은 항들은 다 더해봐야 1/N!+1/(N+1)!+…이라서 대충 엡실론 정도로 눌러버릴 수 있지
그러니까 epsilon-N 게임을 한번만 더 해주면 됨
앞쪽 N번째항은 엡실론게임하기전에 미리 걍 무한대로보내고 뒤항은 엡실론게임한다는게이해가안됨 엡실론엔 할거면 미리보내면안되는거아닌가 - dc App
lim n->inf (1+1/n)^n =lim n->inf sum k=0 to N 1/k!(1-1/n)..(1-(k-1)/n) + sum k=N+1 to inf 1/k!(1-1/n)..(1-(k-1)/n)) 에서 좌우변에 한번더 lim "N->inf" 를 취한단거임? - dc App
그럼좌변은 이미상수니까문제없고 우변은 우변의오른쪽항이 0에수렴하니가문제없다 이논리인가? - dc App
걍 lim 취하지 말고 처음부터 e-N으로 해 앞쪽 N개 항이 각각 오차가 e/N보다 작아질 때까지 n을 키우면 나머지 꼬리는 N만 크면 e보다 작아지니까 총 오차가 2e보다 작겠지
https://m.dcinside.com/board/math/53452
괜찮은지
봐주실수잇나요 - dc App
sum k=0 to ∞ {k!}^(-1)
lim k->0 (1+k)^(1/k) =e
lim k->0 (1+1/k)^(k) =e
1.00000000001^100000000000 = e
0.999999999999^1000000000000 =e