방정식 f(x,y)=0 을 '음함수 표현'이라고 하려면
x,y의 구간을 적절히 조정해서 '(양)함수'가 될 수 있어야 하잖아요?
근데 적절히 조정해서 '함수'가 될 수 없는 방정식 f(x,y)=0도 있는가요?
예를들어 y^3 - 7y^2 - root(y) = x^7 - x^(-2) + x 이렇게 x,y에 관한 관계식이 지저분하게 주어져도 이걸 x,y 구간을 적절히 조정해서 y를 x에 대한 함수로 적을 수 있는거죠? (함수로 볼 수 있단건 y=f(x) 꼴로 표현이 가능하다는 것)
근데 이렇게 하지 못하는 방정식 f(x,y)=0로 있나요?
'f(x,y) = 0이 음함수 표현이라고 하려면'이 아니고 음함수의 정의가 f(x,y) = 0 꼴의 형태임 다른 조건이 필요 없음
음함수는 정의가 적절히 x,y를 조정했을 때 함수가 될 수 있어야 음함수이기 때문에
음함수가 항상 양함수들의 조합으로 표현 가능한가?라는 질문이라면 이건 특정 조건을 만족하는 경우에는 참이고(implict function theorem, 음함수 정리) 모든 경우에까지 성립하는지는 잘 모르겠네
제가 한 질문처럼 f(x,y)=0 으로 적힌 모든 식은 x,y를 적절히 조정해서 모두 y가 x에 대한 함수가 되는지에 대한 설명이 필요해서 질문했습니다
음함수의 정의는 "f(x, y) = 0 꼴인 관계"임
제 질문이 참이면 그게 정의도 되겠지만 음함수가 애초에 implicit 'function' 인데 그냥 f(x,y)=0 이렇게 적은게 음함수 정의의 본질은 아닐텐데요..
음함수는 관계가 "숨겨져" 있다고 해서 음함수임. 음함수가 되기위해서 꼭 "함수" 일 필요는 없음 물론 f(x,y)=0 에서 f는 함수지. 근데 x,y의 관계가 꼭 함수일 필요는 없다는거임
설령 국소적으로라도
관계가 숨겨져 있다는거에서 숨겨져있다는게 x,y의 범위를 조정했을 때, 함수로 볼 수 있는 경우가 되야 음함수지, x,y의 범위를 조정해도 함수로 볼 수 있도록 안될 경우에는 숨겨져있는게 아니니까 음함수 아닌거 아닌가요?
아니 그냥 f(x,y) = 0 꼴의 x와 y의 관계를 음함수라 부르기로 약속했고 그게 정의임 물론 우리가 관심 가지는건 "음함수가 양함수로 표현 가능한가?"라는 질문이 맞긴 함 그래서 음함수 정리(theorem)라는 걸 증명한거고, 우리가 관심을 가질만한 조건의 음함수들은 양함수로 표현 가능하다는게 결론임
음함수 정의는 제가 계속 말하고 있듯이 함수가 되야 음함수지 그냥 f(x,y)=0 라고 적는 x,y 관계식이 음함수 정의가 아니에요...
https://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function
그래 문서 맨 첫줄에 In mathematics, an implicit equation is a relation of the form R(x_{1}, ... , x_{n})=0 where R is a function of several variables (often a polynomial). 라고 되어 있잖아 뭐가 문제인거임
수학에서, 음함수는 R(x1, ..., xn) = 0 꼴의 관계이다 (여기서 R은 다변수함수 (주로 다항식)) 번역까지 해줬다
이건 음방정식이구나 밑에 줄도 번역해줌 An implicit function is a function that is defined by an implicit equation, that relates one of the variables, considered as the value of the function, with the others considered as the arguments.
음함수는 음방정식으로 정의되는 함수로써, 그것은 (다음과 같이) 연관시킨다 변수 중 하나를 함수값으로 간주하고 다른 변수를 인수로써 간주하는
지금 우리는 2변수만 다루고 있으니까 f(x,y) = 0 이라고만 쓰는데, 실제로는 f(x1, x2, ..., xn) = 0꼴을 전부 음함수라고 부름 이걸 함수라고 부르는 이유는 음함수가 (input값 하나에 output값이 하나만 배정되는)진짜 함수는 아니지만, 변수들 중 일부를 output으로 나머지를 input으로 갖는 함수 관계로 보기 위해서(양함수로 쪼개기 위해서) 인데, 이게 정말 가능하냐? 라는 건 음함수 정리로 해결되었다 라는 얘기 내가 같은 얘기를 몇 번 하는지 모르겠는데
그러니까 '함수' 로 볼 수 있는 형태가 되야하는 거 아니에요? 그냥 f(x,y)=0 이라 적기만하면 전부 다 음함수인게 아니라...
음함수의 정의가 "(구간을 나누어) 양함수들로 표현 가능하지만 그 자체(전체)는 함수가 아닌 것" 이었다는 음함수 정리는 필요가 없어지는 정리임. "정의에 따라서 음함수는 항상 국소적으로 양함수로 표현 가능함" 한 줄이면 되는데 뭘 정리를 증명하겠냐
우선 정의에 관해 한 마디를 하자면 1. 위키는 신뢰할만한 소스가 아니다 여기서의 신뢰되는 학술적인 신뢰도-논문 인용이 가능한가-를 의미함 일반적으로(특별히 영어 위키는) 학술적인 영역이 아니라면 믿을만한 정도는 됨 2. 정의는 불변적이지 않다 수학과에 오면 알지만 수학적 정의는 학자마다 책마다 논문마다 다름 그렇지만 일관되게 공유하는 정의에 대한 철학-유사성으로 이해해도 됨-이 있음 3. 그래서 음함수의 정의가 뭔데 그 전에 음함수가 왜 나왔는지부터-정의에 대한 철학에 대해-생각해보자 f(x, y) = 0 이라는 방정식은 xy평면에 표현 가능하지만 대부분의 경우 (일반적인) 함수가 아님(etc. 원)
그건 그렇네요.. 근데 저기 위키에는 왜 음함수 정의에 'function' 이라고 해놓았을까요? 그냥 implicit equation 의 정의로 해논걸 음함수 정의로 해놓으면 될텐데요
그러면 이러한 f(x,y) = 0을 부분적으로(수학에서는 국소적으로 라고 씀) y = g(x) 꼴로 바꿀 수 있지 않을까? (f(x, g(x)) = 0이 되는 g(x)를 찾을 수 있을까?) 하는 질문도 자연스럽게 생겨남 그래서 그걸 증명한 게 "음함수 정리"임
그렇다면 f(x, y) = 0을 가지는 x와 y의 관계를 음함수로 정의하고, 그 관계가 국소적으로 y = g(x)를 만족하는지를 증명한 게 음함수 정리가 되는 것
x-1=0?
국소적으로 x를 y의 함수로, 또는 반대로 나타내고 그 미분을 찾고싶은거면 음함수정리를 보면됨
https://math.stackexchange.com/questions/43263/if-a-function-can-only-be-defined-implicitly-does-it-have-to-be-multivalued
"어떻게 조정해도 국소적으로 함수가 될 수 없는" 예시는 그냥 원의방정식임.
근데 아마도 너의 호기심은 "음함수가 왜 꼭 음함수여야되냐? 음함숙로 포현되더라도 x,y가 일대일대응만 되면 양함수가 될 수도 있지 않냐?" 이거같음.
원방은 그냥 y=root(1-x^2) 이랑 y=-root(1-x^2)으로 두개 함수가 되는데 왜 안된다고 하시는거에요?
원방은 f(x,y)=0 의 그래프를 그렸을 때 함수가 될 수 없다는 의미에서 그렇게 얘기 한거임. 네말대로 함수 두개로 쪼개야하잖아
아 내가 네말을 오해하고 있었구나 네가원하는 반례는 음함수로 나타나는 space filling curve 같은데 그런게 존재할까?
내가 질문을 잘 이해했나 봐봐f(x,y)=0 의 그래프를 그려놓고, 그 그래프 위의 점 (a,b) 를 아무거나 잡은 다음에,(a,b) 를 충분히 확대해서,좀 더 예쁘게 표현하면(a,b) 를 포함하는 쬐끄만한 구간, 가령(a-δ_1,a+δ_1)×(b-δ_2,b+δ_2)이런 모양의 박스를 잘 만들어서 항상 x가 y의 함수가 되거나, 반대로 y가 x의 함수가 되도록 할 수 있냐는 질문임?
smooth Uryson's lemma 에 의하면 A,B가 R^n의 서로소인 닫힌집합일 때 f(A)=0, f(B)=1 이도록 하는 미분가능한 f가 존재함. 그러니까 n=2면 f(x,y)=0 을 만족하는 그래프가 아무 닫힌집합이도록 하는 함수가 항상 존재한다는거지. 그 닫힌집합이 interior point를 갖는다면 즉시 내가 말한 경우의 반례가 됨. 그런 함수에선 국소적으로라도 x,y사이 관계가 함수일 수 없을거임. 당연히 그 interior point 에선 f의 미분이 0이므로 역함수정리는 적용불가능하고. 물론 저런경우를 음함수라고 부를것이냐의 문제가 있긴 하겠지. 아무튼 꽤 흔한 경우임
초등함수로 나타낼수 있느냐 이말인가
x=ye^y의 경우 y=f(x) 꼴로 표현 불가 - dc App