[일반] 중학교 교과서 증명에 오류가 있는 것 같은데

[익명(118.32)]

현과 접선이 이루는 각을 증명하는 건데

위 그림에서 만약 점 C가 호 DB 위에 있으면 예외가 생기지 않나

[익명(oen0c)]

ABC가 둔각이면 문제가 생기는 거 아니냐고?

[익명(118.32)]

그러니까 각 BAT가 각 ACB와 크기가 같다(합동)이라는 것의 증명인데 C가 호 DBA의 반대쪽 호에 있을 때는 그림처럼 되겠지만 호 DB위에 있으면 그림 모양이 달라진다는 이야기임

[익명(oen0c)]

"원주각"인데 뭐가 문제임? 잘모르겠는데 호 AB 작은 쪽 얘기하는것도 아니고

[익명(118.32)]

그러니까 저 그림에서 각 DCA의 내부에 점 B가 있다는 것을 암묵적으로 가정하잖아 점 C가 (작은) 호 DB 위에 있으면 성립하지 않는다는 이야이기임

[익명(oen0c)]

왜 성립을 안함? 혹시 원주각이 뭔지 모름?

[수갤러 1(121.161)]

반례 올렸음 그림을 봐봐

[익명(oen0c)]

호 "AB"에 대한 원주각 보고있는데 다른거가져와서 "안되지않음?" 이러고있으면 내가 뭐라고 답해줘야하니

[수갤러 1(121.161)]

원 위의 두 점에 대해서 그 점을 양 끝으로 하는 호는 두개 있잖아. 그 두개중 하나를 골라 그 호 위에 있지 않은 점과 호의 양끝점을 이어서 만든 각이 원주각이잖아. 이 정리가 말하는 건 호 AB에 대해서 호 AB 위에 있지 않은 한 점을 이은 원주각의 크기가 접선과 현이 이루는 각의 크기와 같다는 거야. 그런데 그림처럼 그 각의 꼭지점이 호 ABD 위에 있지 않은 경우 말고 호 DB(그림에서 작은 호) 위에 있는 경우는 그림 모양이 달라진다는 거야.

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[수갤러 1(121.161)]

위 그림과 아래 그림 모양이 다른건 그림판으로 저 삽화랑 100% 똑같이 그릴 수 없어서 다른거고

[익명(183.101)]

'각 BAT = 호 AB에 대한 원주각의 크기' 보이는건데 애초에 점 C는 걍 호 AB에 대한 원주각 크기 말하려고 호 BD위에 있지 않은 점 아무거나 잡으면 되는거잖음. 호 BD위의 점이 맘에 안들면 그냥 그림처럼 옮겨주면 되는거 아님?

[수갤러 1(121.161)]

원 위의 두 점에 대해서 그 점을 양 끝으로 하는 호는 두개 있잖아. 그 두개중 하나를 골라 그 호 위에 있지 않은 점과 호의 양끝점을 이어서 만든 각이 원주각이잖아. 이 정리가 말하는 건 호 AB에 대해서 호 AB 위에 있지 않은 한 점을 이은 원주각의 크기가 접선과 현이 이루는 각의 크기와 같다는 거야. 그런데 그림처럼 그 각의 꼭지점이 호 ABD 위에 있지 않은 경우 말고 호 DB(그림에서 작은 호) 위에 있는 경우는 그림 모양이 달라진다는 거야.

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[수갤러 1(121.161)]

첫번째 그림에서 C는 호 AB 위에 있지 않은 점 아무거로 잡을 수 있는데 그게 지름 AD를 연장한 직선에 대해서 B와 같은 쪽에 잡으면 문제가 생긴다는 얘기임

[익명(112.152)]

본문 말대로 ABC가 둔각인 경우를 따로 체크하긴 해야할듯

[수갤러 2(211.52)]

틀린거없음. 님 방식대로 점을 잡아도 증명이 틀린게 아님.

[수갤러 2(211.52)]

아니면 증명에서 임의의점C라 말해놓고, 임의의점C에서 저렇게 증명된다. 라고 말했으니 틀렸다는건가?

[수갤러 2(211.52)]

호 BD사이에 C를 찍으면 저 증명못써먹으니 오류다고 말하고싶은것같은데, 저 증명의 전제가 호의길이같으면 원주각은 같다라 C가 호BD사이에 있어도 문제 없음. 윗사람들 말대로 점C를 옮겨도 일반성을 잃지 않기때문에

[익명(118.32)]

그림에서 ACD의 내부에 B가 있다는 걸 암암리에 사용했는데 아래 반례에서는 B가 각 ACD내부에 없음. 각 ABC내부에 P가 있을 때만 각 ABC = 각 ABP + 각 CBP를 사용할 수 있게됨. 내가 내린 결론은 일단 저 위의 특수한 경우에서만 보이고 일반적인 경우는 같은 원주각이니까 크기가 같다는 거임

[익명(118.32)]

그리고 교과서에선 이런 얘기가 없으므로 증명에 결함이 없는건 아닐듯

[수갤러 2(211.52)]

그니까 너가 말하는건 특이경우만 적용되는 증명이란말 아님?

[수갤러 2(211.52)]

원주각의 일반성 때문에 특이상황에서만 증명해도 문제가 없단말임

[수갤러 2(211.52)]

애초에 증명할때 임의의 라면서 모든 상황을 베이스로 증명하는거 아니면, 대부분은 저런식으로 일반성을 두고 증명함

[익명(118.32)]

ㅇㅇ 맞음. 내말이 그말. 그런데 아무리 간단한 거라도 언급을 안하면 비약이 있다는걸 말하려는 거였음

[수갤러 2(211.52)]

기하증명은 대부분 다 저런식임.. 가정하나두고 일반성이 성립한다는 식으로 하잖아

[수갤러 2(211.52)]

딱히 비약도 아님. 교과서 봐야 알겠지만 수학적엄밀함이 떨어질순 있어도 오류늘 없을거임. 걍 특이경우하나 증명보여주고 원주각이 다 같으니 일반성이 성립한다. 이런거지.

[수갤러 3(58.122)]

글쓴이가 좋은 지적을 한 것 같은데, 아마 교과서에서는 예각인 경우를 증명한 것이고, 아마 둔각인 경우도 있을거임. 당연히 둔각인 경우는 따로 증명해야함