Ax=b에서 x=x_n+x_r로 분해가 가능하다는 걸 어떻게 보장할 수 있음?? 분해만 된다면 Ax_r=b인건 알겠는데 왜 분해가 되는거임?
그리고 경우에따라 row space의 원소가 Ax=b의 해가 되지 않을 수도 있는건지, Ax=b를 만족시키는 “모든“ x는 x_r+x_n으로 분해가 가능한건지도 궁금함
참고로 x_r은 row space component, x_n은 null space component임
그리고 경우에따라 row space의 원소가 Ax=b의 해가 되지 않을 수도 있는건지, Ax=b를 만족시키는 “모든“ x는 x_r+x_n으로 분해가 가능한건지도 궁금함
참고로 x_r은 row space component, x_n은 null space component임
너무 당연한거라 뭐라 설명해야하지 Ax = b 를 만족하는 x가 있으면 x+x_n도 그 해가 되잖아 그러니까 당연히 nullspace에서도 찾아줘야함
nullspace에서의 x_n이 아예 붙어있지 않는 x는 어떡하나요? 그럼 x_n = 0으로 잡으면 되죠...
벡터공간 V가 W1,W2 의 합집합으로 span되면 임의의 V원소를 항상 W1과 W2 의 합으로 쓸 수 있음. 이건 그냥 정의에서 바로 나오는 결과임
그리고 그런 표현이 유일하다는건 W1,W2 의 교집합이 0 뿐이라는것과 동치임. 당연히 직교하면 교집합이 0뿐이고
row space 의 원소인데 Ax=b 를 성립안시킨다는게 뭔소린지 잘 이해가 안가는데 row space의 원소 x는 항상 Ax=/=0 이냐는 질문인가?
당연히 그럴 수 밖에 없는게, 가령 A의 i번째 행을 r_i 라고 하고 r_i 이 nonzero 라면 Ar_i 의 i번째 성분은 |r^i|² 일테니 0일 수 없겠지.
rowspace는 r_i 의 선형조합이니 그냥 A(Σc_i r_i) 쭉 전개해보면 rowspace 의 A에 의한 image 는 0의 이미지 빼고는 nonzero인거 어렵지않게 보일 수 있고
"Ax=b 를 만족하는 모든 x" 라고 굳이 말하지 않아도 x는 R^n 의 원소이고 rowspace 와 nullspace는 차원 합이 n이고, 교집합도 없는 R^n 의 부분공간이니 당연히 x=x_r+x_n 으로 쓸 수 있음. 이런 경우를 두고 R^n이 rowspace 와 nullspace 의 direct sum 으로 decomposed 됐다고 말하기도 함. direct sum 검색해보면 느낌올듯?
아 중간에 오타냈다 |r^i|² 아니고 |r_i|² 얘기한거임 r_i 끼리 내적한거
와 나 진짜바본가?? 마지막답글이 너무 도움이 됐음. Null이랑 row랑 orthogonal complement인게 대체 뭐 어쨌단건지 이해를 못하고있었는데, 두 벡터의 합으로 R_n에 속하는 임의의 벡터를 표현할 수 있겠구나.. ㄱㅅㄱㅅ
그리고 사진에 있는 정리가 x=x_r+x_n으로 분해하는 방법이 unique함을 이야기하는걸로 이해하면 됨??
일단 3F에서 말하는건, A의 row space와 column space 사이의 관계만 똑 떼서 보면 역함수는 얼마든지 만들 수 있다~ 라는 얘기인 것 같은데 x=xr+xn 이 표현은 유일하냐의 여부는 그냥 orthogonal decomposition 에서 나오는거라 직접적인 관련이 있는건 아니고 굳이 따지자면 그림에서 직각표시 해둔게 x=xr+xn 이 유일함을 강조한 셈이긴 하지
RowA랑 NulA가 수직이니까 orthogonal decomposition으로 가능함