[중고딩문제] 방정식 유리근 문제 헬프

[익명(112.223)]

판별식 (a+1)^2 - 4ab 가 유리수의 제곱이 되야 하는데 그러면 무조건 a에 대한 완전 제곱식이 되어야 하는거임?

답지에서 이렇게 풀어놨는데 논리 gap이 있는 거 같아서 질문드려용

[수갤러 1(182.216)]

그냥 이차방정식 판별식 쓴건디

[익명(58.233)]

판별식을 a에 대한 이차방정식으로 보고 모든 a에 대해 판별식이 0이상이어야 하니 판별식에서 다시 한번 판별식 써야함

[익명(58.233)]

개념 잘 안잡혀있는 애들은 ㅈㄴ 헷갈릴듯

[TQFT(lemonkx)]

보조정리) b,c가 유리수일 때, 다항식 f(x)=(x+b)^2+c가 모든 유리수 x에 대해 유리수의 제곱의 값을 가진다면 c=0이다.

[TQFT(lemonkx)]

증명스케치) b와 c의 공통분모를 곱해서 식을 잘 변형하면 x가 정수일 때만 보아도 충분하다. x를 매우 크게 잡아서 연속한 제곱수의 차이가 c에 해당하는 항보다 더 크게 만들 수 있고 그러면 제곱근이 정수가 될 수 없어진다.

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[익명(112.223)]

아 k가 정수라고 가정해도 무방했는데 멍청하게 생각했네 감사합니다 - dc App