이 편미분이 0이 아니어야할 이유를 몇일째 이해가 됬다안됬다 하고있습니다ㅠㅠ
이렇게 받아들여도 될까요?
[일반] (수정)음함수정리 다시 질문...
Differe..(homekipper11)
2023-12-29 11:00
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미분 맞음
하... 왜케 이해가 안되는거지...편미분한게 0이 아니어야할 이유가 직관적으로 안와닿네
x^2+y^2=1을 생각
+-때문에 y를 x에대한 하나의 양함수로 나타낼수없다는것과 F_xn(a)=/=0 이란것과 어떤관계가있는건가요?
플마 루트로 나타낼 수 있는지 없는지에 집중하지 말고 더 생각해보길.
F_(x_n)(a)가 0이 아니라는 조건은 첫 n-1개 성분을 고정시켜 놓은 일변수함수 f(t)=F(a_1,a_2,...,a_(n-1),t)가 극대/극소를 가질 수 없다는 뜻이기도 함 (Fermat theorem)
우선 thm은 저게 0이 아닌 경우에 된다고 쓰인거지 0이 아니어야만 된다고 쓰인건 아니라 이유를 꼭 찾을 필요는 없지만, 그래도 찾는다면 저 조건은 F를 f로 바꿀 때 class C1에서 f를 잡는다는 조건을 깨뜨리게 됨 예를 들어 F=x-y^3, a=O, c=0인 경우 y=f(x)=³√x로 함수가 존재하긴 하지만 이건 C1은 아님
다시 말해 F_{x_n}이 0이 아닌 점에서 진행해야 f가 구해짐 + C1 함수로 보장된다고 해석할 수 있음
그리고 이런거 처음부터 이해하려고 노력할 필요가 없는게 쓰다보면 익숙해지고 어느새 이해가 되어 있음.
물론 지금 보면 statement 자체를 모르고 있는 것 같으니 그건 이해를 해야겠지.
제가 이걸 일단 텍스트 자체로 이해한바로는, a점에서 F(x1,x2,...xn)을 관찰하기 어려울때 그 일부를 xn=f(x1,x2,...,xn-1)로 나타내어 locally하게 정보를 얻고자할수있는데 그게 늘 가능한게 아니고 a에서 F_(xn)이 0 이 아닐때 (a1,a2,...,an-1)의 근처에있는 (x1,x2,...,xn-1)으로부터 an근처의 xn으로 보내는 함수 f가 존재하므로 이걸 관찰한다
그리고 이때 F(x1,x2,x3....xn-1,xn)=C일때 f(x1,x2,...,xn-1)=xn 성립한다. <<< 이런맥락인거죠?
"관찰한다" 같은 일상용어로 표현하고 싶어하는 욕구는 알겠는데 그게 오히려 본인의 직관을 망치는 지름길임
F(x,y)=0이라는 식이 주어졌을 때 dy/dx를 구하려면 양변을 x로 미분해서 F_x+F_y(dy/dx)=0, 즉 dy/dx=-F_x/F_y가 되어야 함. 그런데 이 분수식은 F_y가 0이 아닐 때만 말이 되겠지? 즉 고딩때 하던 것처럼 음함수 미분법을 무지성으로 적용한다 치면 (되는지 안 되는지는 차치하고) 적어도 F_y가 0이 아니어야 함
그런데 신기하게도, 정확히 이 조건만 보장되면 진짜로 F(x,y)=0이란 식에서 y가 x에 대한 함수가 된다는 게 (즉 진짜로 음함수 미분법이 성립한다는 게) 음함수 정리의 내용임. 변수가 3개 이상일 때도 마찬가지
제가 이걸 일단 텍스트 자체로 이해한바로는, a점에서 F(x1,x2,...xn)을 관찰하기 어려울때 그 일부를 xn=f(x1,x2,...,xn-1)로 나타내어 locally하게 정보를 얻고자할수있는데 그게 늘 가능한게 아니고 a에서 F_(xn)이 0 이 아닐때 (a1,a2,...,an-1)의 근처에있는 (x1,x2,...,xn-1)으로부터 an근처의 xn으로 보내는 함수 f가 존재하므로 이걸 관찰한다
그리고 이때 F(x1,x2,x3....xn-1,xn)=C일때 f(x1,x2,...,xn-1)=xn 성립한다.
이런 맥락으로 이해했습니다.
변수가 몇개이든 유동님이 말하신 맨 마지막 변수xn에 대한 편미분이 0이 아니어야한다는건 굳이 따지자면 C1인 함수가 정의될 최소조건?쯤으로 여기먼 되나요?
꼭 필요한 조건은 아니지 x^3-y^3=0이라는 음함수는 y=x랑 똑같으니까 항상 y가 x의 함수인데 어쨌든 y로 편미분하면 0이잖아
그럼 딱 말그대로 F_xn =/=0 이면 저런게 성립한다... 이런건가요?
헷갈리면 고등학생 때 했던 것처럼 그냥 2차원인 경우만 생각해보셈 음함수 F(x,y)=0를 좌표평면 위에 그렸을 때 접선이 x축에 수직만 아니라면 그 근처에서 y가 x에 대한 함수가 될 거라고 추측할 수 있겠지. 그 접선이 x축에 수직한 경우가 정확하게 F_y=0인 경우고
아.... 납득했습니다...
윗댓에 원의 방정식 같은 경우도 접선이 x축에 수직하는 맨 왼쪽 오른쪽 두 점에서는 y가 x에 대한 함수로 local하게 나타낼 수 없지만 그 외 나머지에서는 잘 되잖음
다들 원방을 생각해보라는게 이런거였군요...감사합니다..