V(w^2y-x^2,wz-xy)의 irreducible component를 찾아라가 문제입니다. (w^2y 는 w의 제곱과 y의 곱으로 그냥 쓰겠습니다.)


우선 앞에서 V(w^2y-x^2,wz-xy, wy^2-xz, z^2-y^3)가 irreducible임을 이미 보였습니다.


그러므로 (w^2y-x^2,wz-xy) < P인 minimal prime ideal P를 찾으면 됩니다.


z(w^2y-x^2)-wy(wz-xy)=x(wy^2-xz) 이므로 x나 wy^2-xz가 P의 원소여야 합니다.


후자가 아니라고 가정하면, x가 원소이므로, w도 원소여야 합니다. 그럼 wy^2-xz가 P의 원소여야 합니다. 


모순이 생기므로 wy^2-xz는 P의 원소여야 합니다.


(w^2y-x^2,wz-xy, wy^2-xz)로 다시 생각해보면 z(wz-xy)-y(wy^2-xz)=w(z^2-y^3)입니다.


w가 P의 원소라면 x도 P의 원소여야 합니다. (x,w) < P이고, (x,w)는 prime이므로 됐습니다.


만약 w가 아니라 (z^2-y^3)가 P의 원소면, (w^2y-x^2,wz-xy, wy^2-xz, z^2-y^3) < P입니다.


그런데 앞에서 V(w^2y-x^2,wz-xy, wy^2-xz, z^2-y^3)가 irreducible임을 알고 있었고 이는 prime ideal이라는 뜻이므로 됐습니다.



증명에 문제가 있는지 알고 싶습니다.