여기서 (a)번에 막혀있는데요.
V n Y = (A^4 - Z) n Y = U = Y - Z(x,y) 이므로
Y - ( Y n Z ) = Y - Z(x,y)이고
Y n Z = Z(x,y)인 것을 알 수 있습니다.
그럼 이 Z가 A^4에서 codimension 0이나 1이 아님을 보이면 되는데
일단 0일 수는 없습니다. A^4 자체가 codimension 0가 되어야 하기 때문입니다.
그럼 이제 1이 아님을 보이면 됩니다. 모순을 보이기 위해서 codim(Z)=1이라고 가정합니다.
Z는 closed이므로 I라는 어떤 ideal의 해집합, 즉 Z=Z(I)로 쓸 수 있습니다.
그럼 (0) < p = (f) < I < (x,y)와 같이 chain이 존재합니다. 여기서 (0), p, (x,y)는 모두 prime ideal들입니다.
p는 a prime ideal of height 1 in UFD이므로 some irreducible element f의 ideal로 쓸 수 있습니다.
만약 I < (x,y) 사이에 equality가 성립하면 I는 codim 2가 됩니다.
그러므로 I와 (x,y) 사이에 equality는 성립하지 않습니다.
다시 Z(xw-yz, I) = Z(x,y)와 nullstellensatz에 의해 rad(xw-yz, I) = (x,y)가 성립합니다.
여기까지 했는데 codim 1인걸 어떻게 이용해야 할지 갈피가 안 잡힙니다. 이 접근법이 맞는 지도 모르겠고요.
잘 하시는 분들 도와주세요.
Z(x,y)가 irred.라 Z를 irred. hypersurf로 가정해도 모순보여도 충분함 그래서 f의 모양을 적절하게 두고 (x^n,y^m)⊆(wx-yz,f)⊆(x,y)에서 모순을 찾는 풀이가 가능함 그런데 ideal을 거치지 않는 짧은 풀이도 있음
감사합니다. 짧은 풀이는 어떻게 하는 건가요??
만약 Z(x,y)가 hypersurf Z를 가지고 Y∩Z로 표현된다면 Z(w,z)도 Z'가 있어서 Y∩Z'로 표현됨 그럼 세 hypersurf의 교집합은 Y∩Z∩Z'=Z(w,x,y,z)가 되는데 codim에서 모순임
댓글 달고 이해한 거 같은데 Y \cap Z의 dimension이 2이고, 이거와 Z'의 intersection이 dimension이 1이어야 하는데, Z(x,y,z,w)는 dimension이 0이어서 모순 맞나요?
ㅇㅇ 정확히는 dim이 각각 1 이상과 0이라 같을 수가 없음
혹시 (b)번도 힌트 좀 주실 수 있으신가요? 혼자 풀어보고 싶은데
어디까지 배웠는지, 저게 어디쯤인지 몰라서 말하기 좀 어렵네 일단 가장 핵심이 되는건 codim Z≥2이면 A4-Z의 모든 reg ft는 A4로 extend된다는 거임
제가 읽는 책 앞부분에 나오는 내용이고, 말씀하신 그 정리는 처음 듣네요...
이게 a에서 b로 이어서 풀 때 필요한 철학인데 아직 안했다면 다른 접근법을 써봐야겠네 g가 있다고 치고 정공법으로 어떻게든 모순을 찾아도 되고, rat ft의 zero와 pole 개념을 가져와도 되고, 대수적으로 localization을 풀어서 해결해도 되겠지
아까의 extend 얘기는 대수적인 얘기만으로도 증명이 되는데 이걸 참고
https://math.stackexchange.com/a/1258799/574834