[일반] 집합 A, B가 서로를 원소로 가지고 있는건 불가능함?

[익명(220.120)]

증명이 안됨

[Repub(joint7983)]

A={B}, B={A} 식으로? 그런거라면 정칙성 공리(The Axiom of Regularity)로 그런 집합은 없단걸 못 박아놨음

[익명(220.120)]

A, B외에 다른 원소들이 포함된 형태도 불가능함?

[수갤러 2(223.39)]

예를 들어 만약 x∈x인 x가 존재한다고 하고 X={x}라고 하면 X는 집합이 되고 X의 원소중 X와 교집합이 공집합인 원소가 존재함 근데 X의 원소는 유일하니 x∩X=∅가 되는데 x∈x, x∈X이므로 x∈x∩X, 즉 x∩X≠∅여서 모순임 따라서 x={a, x}와 같은 집합은 없음

[수갤러 3(223.39)]

마찬가지로 A={a, B}, B={A}와 같이 A∈B∈A인 집합도 존재할 수 없음

[수갤러 1(175.123)]

윗댓같은 집합이 있으면 러셀의 역설이 발생해서 저런 집합은 없다고 해놓음

[ultraproduct(ultraproduct)]

러셀의 역설과는 상관없음. 저런 집합의 존재성은 정칙성 공리와 충돌하는 거지, 나머지 공리와는 충돌하지 않음. - dc App

[익명(211.36)]

정칙성 공리의 내용이 A의 모든 원소가 A와 서로소인거임?

[ultraproduct(ultraproduct)]

아님. 임의의 공집합이 아닌 집합은 자기 자신과 서로소인 원소를 가진다는 공리임 - dc App

[수갤러 4(223.39)]

A∈B∈A인 집합이 존재한다고 하면 A∈B, A∈{A, B}이기 때문에 A∈B∩{A, B}이고 마찬가지로 B∈A∩{A, B}임 따라서 A∩{A, B}≠∅, B∩{A, B}≠∅임 그런데 정칙성 공리에 따르면 X∈{A, B}이면서 X∩{A, B}=∅인 X가 존재하는데 X는 A 또는 B밖에 될 수 없고 두 경우 모두 공집합이 되지 않으므로 모순임