p|G 면 |H|=p인 H < G 존재
1. a를 G라고 잡고 p | |a|면 <a^k> = p 끝.
2. otherwise |G:<a>| = pk
a의 left coset을 잡고 representative의 집합 H = {1, g_1, ..., g_{pk-1}}를 잡음
3. coset마다 g_1<a>를 곱해도 서로 disjoint하니까 g_1^pk<a> = <a>임
representative를 다시 쓰면 H' = <g_1>, |H'| = pk이니까
<g_1^k> = p 끝.
이거맞음요? 내가 보기엔 괜찮아보이지만 이렇게 해버리면
쉴로브 정리도 |G| = p^km, 일때 g_1 똑같이 잡으면 <g_1^m> = p^k로 무진장 쉽게 풀리는데?
틀렸..나요?
3번에 왜 g1^pk<a>=<a>임
어... 어? g1<a>에 g1을 곱하면 다른 coset이 되는건 맞는데 결국 cycle이 생기는건 맞는데...</a>
이렇게 할게요 g_1 ~ g_{pk_1}가 모두 order가 p와 서로소면, |H| = |G:<a>|도 p와 서로소니까 p| |g_i|인 g_i가 있음 |g_i^k| = p임</a>
coset 모아놓은 게 group이 아니라 그 cycle의 길이가 꼭 pk의 약수일 필요가 없지 않나
그러네요 아이고 흑흑 내시간
도대체 이름이 안 나오는 데가 없는 그 수학자 Augustin Louis Cauchy