[일반] 이거 극한 문제 어떻게 증명함???

[익명(37.207)]

[수갤러 1(172.226)]

sim a_n이 코시열임을 이용하면 됨

[수갤러 2(211.184)]

수열 {xₙ}의 부분합을 Sₙ이라 하면, 급수가 수렴할 조건은 모든 ε > 0에 대해 두 자연수 m,n이 N ≤ m < n이면 |Sₙ – Sₘ| < ε인 자연수 N이 존재하는 거임(코시 판정법). 문제에서 급수가 수렴한다고 했으므로, 모든 ε > 0에 대해 두 자연수 m,n이 N₁ ≤ m < n이면 |Sₙ – Sₘ| < ε/2인 자연수 N₁이 존재함. 수열 {xₙ}은 각 항이 0 이상인 단조 감소 수열이므로, 앞의 결과로부터 모든 자연수 n > N₁에 대해 (n – N₁)xₙ < ε/2임을 알 수 있음.

[수갤러 2(211.184)]

또한 급수가 수렴한다는 사실로부터, lim xₙ = 0임을 쉽게 알 수 있음. 그렇기 때문에 앞의 ε과 N₁에 대하여, 모든 자연수 n > N₂이면 |xₙ – 0| = xₙ < ε/2N₁인 자연수 N₂가 존재함. 이제 앞에서 얻은 부등식과 연결하셈. 그러면 모든 n > max{N₁,N₂}에 대해 nxₙ < ε/2 + N₁xₙ < ε이 성립하여, lim nxₙ = 0임을 알 수 있음.