[일반] 수열의 극한 정의 질문

[익명(117.111)]

수열의 극한의 정의에서 임의의 ε>0에 대해 n≥N이면 |x_n-x|<ε 을 만족하는 자연수 N이 존재한다는 것을 n이 아무리 커져도 그에 대응하는 자연수 N이 계속 존재해서 n과 N이 계속 커지다가 결국 무한대로 가면 모든 ε에 대해 |x_n-x|<ε이 성립해서 x_n이 x로 수렴한다라고 이해했는데 맞는건가요.?

[Repub(joint7983)]

ㄴㄴ n=1, 2, 3, ... 이렇게 늘여나가다가 어느 순간 이후부터는(N 이후부터) x_n의 값과 x의 차이를 얼마든지 줄일 수 있다는 말임

[수갤러 2(123.254)]

n이 아무리 커지는게 아니라 ε이 아무리 작아져도(=모든 ε에 대해) 그에 대응하는 N이 계속 존재해서 N번째 이후의 수열값과 특정 값(극한값)의 차이가 ε보다 줄어들어야함 결국 N이 얼마나 커져야하는게 포인트임 n과 N이 무한대로 간다는 말도 이상한게 수열의 극한의 정의에는 무한대가 들어가지 않음

[수갤러 3(104.28)]

아니. ε>0은 먼저 고르는 거고, 일단 고르면 정해지는 거임. 그러면 그 한번 고른 ε에 대응하는, N_ε보다 더 큰 모든 N에 대해서 |x_{N}-x|<ε을 만족하는 어떤 자연수 N_ε 항상 존재한다는 뜻이야. 중요한 건 니가 ε을 마음대로 고를 수 있다는 거지. 그게 "임의의 ε>0"라는 말의 뜻이야.

[수갤러 4(104.28)]

이제 아이디어는, 니가 아무리 작은 ε>0을 들고 온다고 해도, 나는 그 때마다 거기에 대응하는 |x_N-x|<ε ∀N≥N_ε인, 아마도 매우 큰 숫자겠지만 그래도 유한한 어떤 자연수 N_ε을 정확히 댈 수 있다는 거지. 그러면 그 수열은 한편으로 x와 ε보다 멀리 떨어진 유한히 많은 원소들을 가지고 있지만, 다른 한편으로 x와 ε보다 가까운 무한히 많은 원소들을 가지고 있는 거야. 따라서 그 수열은 x로 수렴한다고 말하는 거지. 어떤 수가 그 아무리 많다고 해도 무한에 비하면 없는 거나 마찬가지니까.

[수갤러 3(104.28)]

ε은 도전자고, N_ ε은 챔피언이야. 만약 우리의 게임(수열)이 발산하는 게임이라면 도전하다보면 언젠가는 ε이 이길 수 있지만, 수렴하는 게임이라면 ε이 아무리 도전해도 절대로 챔피언을 이길 수 없어. 영원히.

[속상한기태씨(soksanghae)]

임의의 작은 양수 엡실론을 가져올 때마다 x_n-x의 값을 엡실론 안으로 좁힐 수 있으면 수렴임

[속상한기태씨(soksanghae)]

국소적인 범위에 대한 내용도 들어가야 되나 이거 필수적인건지 잘 모르겠 전에 공부하다 의문든건데 클리어하게 해결 안하고 넘어갔던 부분이라

[TP(ttubbang)]

임의의 엡실론 하나에 대해서 N을 제시할 수만 있으면 수렴한다는 뜻