[일반] 로피탈정리 자세한 조건이 뭐임

[익명(118.235)]

당장 x가 무한대로 갈 때 (x+sinx)/x나 (xsinx)/x는 로피탈을 썼을 때랑 안 썼을때랑 결과가 너무 다름 둘 다 공통점이 진동이랑 관련된것같은데 뭐임?

[익명(124.197)]

후자는 분자가 진동 아님? 로피탈 조건은 양/음의 무한대로 발산하는 거였던 걸로 기억함

[익명(124.197)]

진동하면 로피탈 못 쓸 듯

[익명(112.152)]

그런게 아니고 로피탈은 (도함수)/(도함수)의 극한이 존재할 때 (미분하기 전 함수)/(미분하기 전 함수)의 극한이 존재한다는 정리기 때문에 본문은 로피탈을 거꾸로 적용하려다가 잘못되는 케이스임

[수갤러 1(220.81)]

(1) lim f(x) = lim g(x) = 0이거나, 또는 (2) lim |g(x)| = 무한일때, liminf f'/g' <= liminf f/g <= limsup f/g <= limsup f'/g' 가 성립함. 그러니까 위의 댓글대로 만약 f'/g'의 극한이 L로 수렴하거나 무한 또는 -무한으로 발산한다면 f/g의 극한도 L로 수렴하거나 무한 또는 -무한으로 발산할 것이고,

[수갤러 1(220.81)]

본문에서 적어놓은대로 f(x)=x+sin x, g(x)=x인 경우에는 x가 무한으로 향할때 f'/g' = 1 + cos x는 [0,2] 범위에서 진동하니까 f/g의 liminf와 limsup도 [0,2] 범위내에 있다는 사실만 얻게되지. 이 경우에는 f/g의 극한이 1이라서 [0,2] 안에 있음.