=: (식 1)
식 1을 예시로 들게.
엡실론-델타 논법에 따라 식 1의 의미를 느슨하게 풀어쓰면,
문장1) 0보다 큰 임의의 실수 ε에 대해,
x > M 이면 | - L | < ε 인 M이 존재한다.
문장2) 문장 1이 참이 되는 L 값은 유일하게 존재하다.
문장3) 문장 2가 참이 되는 L 값은 e 이다.
이렇게 되는 거, 맞지?
그렇다면, 대체 수학자들은 e 값을 10진법으로 표현하는 방법을 어떻게 찾은거임???
문장 1을 형식 언어로 표현했을 때, 그 문장의 양화사만 적어도 다음과 같잖아.
∀ε.∃M.∀x. (생략)
산술적 위계가 인 문장이잖아. 이 문장이 참이 되는지 증명해야 하잖아.
문장 2에 따라서 L 값이 유일하게 존재한다는 것이 '참' 인지도 증명해야 하고.
문장 1과 문장 2 둘 다 참인 것을 증명했어도,
'그래서 그 L 값이 뭔데? 어떻게 계산하면 되는데?' 는 또 다른 문제잖아?
대체 수학자들은 문장 1과 문장 2가 참인 것을 어떻게 증명하고,
e 값을 10진법으로 표현하는 방법을 어떻게 찾아낸거임?
노가다
∀ε.∃M.∀x. (생략) ↑이 산술적 위계 문장이 노가다로 증명이 돼...?
고등학교 개념서에서는 x에 10, 100, 1000... 등 계속 큰 수를 집어넣으면서 근사치를 구하는 걸로 소개되어있음 아마 이 방법이 제일 간단할듯
물론 테일러 급수로 근사치 구하는 게 더 빠르겠지만
자연로그의 밑을 급수로 정의하는 방법이 발견된 것은, 사실상 기적이잖아. 이런 기적을 발견하는 것 말고는 어떤 극한식이 수렴하는지, 수렴한다면 그 값을 10진법으로 어떻게 나타내는지, 알 방법은 없는건가...?
엡델은 극한값을 구하기보단 극한값을 추측하고 그 값이 정말 극한값인지 확인하는 방법 아님?
이 말이 맞는 것 같다. 극한값 추측은, 사람의 '감'으로 하는건가...
엡델은 극한값을 증명하고 확인하는데 목적이 있지 극한값이 몇인지를 구하는데는 관심이 없을텐데
내가 용도를 잘못 알고 있었네. 다들 알려줘서 고마워.
다른사람도 지적했지만 엡델논법은 주어진 극한이 L로 수렴함을 "검증" 하는 것임. 실제로 극한값이 몇인지 알아내는데에는 거의 쓸모가 없음. 극한값을 알아낼땐 샌드위치 정리나 극한의 성질들을 이용해야하고, 엡델논법은 그 정리들을 증명하는데 사용되는거
극한값을 알아내는 방법은 여러가지가 있지만 limsup, liminf 을 사용해도 좋고 여러가지 테크닉을 사용할수도 있고 뭐 그렇지. 특히 급수로 가면 기상천외한 테크닉이..
극한값 존재 여부, 존재할 경우 그 극한값을 알아낼 수 있는 극한식은 현재까지 알려진 '테크닉'을 적용할 수 있는 일부 뿐이구나. 알려줘서 고마워!