현재 이론 7 부분 보고있는데요
두 개 이상의 vector 가 linearly dependent 하다면 집합 S에 있는 vector 들 중 적어도 하나는 다른 vector 들의 linear combination 으로 표현할 수 있다.
즉, 최소한 하나의 vector 가 다른 vector의 linear combination으로 표한가능하다면 2개 이상의 vector 는 linearly dependent 하다라고 볼 수 있는데
제가 헷갈리는건
밑에 연습문제에서 3번입니다.
일단 {u,v,w,z}는 3x4 matrix 이고 free variable 이 존재 -> non trivial solution 이므로 linearly dependent 한데
3 번 문제의 의도를 정확히 모르겠습니다.
{u,v,w,z}가 linearly dependent 하다라고 하면
theorem 7 에 따라 벡터 w 가 u,v,z 의 linear combination 으로 표현가능한게 맞지 않나요?
이게 연습문제 답안인데요,
여기서 이해가 안되는게
3번 답안중에서 In this practice problem, w is not a linear combination of u,v, and z. -> 이게 왜 맞는지 이해가 되지 않읍니다..
이미 {u,v,w,z} 는 linearly dependent 이고 theorem 7 의 필요충분조건에 따라 2개 이상의 vector 가 linearly dependent 이므로
w is linear combination of u,v, and z 가 맞다고 생각하는데..... 혹시 제가 잘못 이해했거나 틀린 부분이 있을까요ㅠㅠ
추가적으로 linearly dependent 하다는 것은 w 가 Span(u,v,z) 상에 존재한다고 이해했는데
예를 들어 밑의 그림은 R3 공간에서 linearly dependent 할 경우 w in Span{u,v} 인데
연습문제 그림을 보면 R4 공간에서 w in Span{u, v, z} 가 되어야 하는게 아닌지.
그렇다면 그림에서 w 는 Span 영역에 있는게 맞는게 아닌지 궁금합니다..!!!
아 이론7이 아니고 정리7군요.. 죄송합니다
“at least” 라는 말은 어느 하나만 다른 벡터들의 linear combination으로 나타내면 된단 뜻인데 네가 고른 w가 하필 그 벡터일 필요는 없지
w말고 남은 벡터 3개 놓고 봤을때 dependent고 w는 그 subspace에서 벗어나게 구성할 수 있음. u v z가 평면 span하고 w는 거기에 수직이게 되는 그림 생각해보세요. 정리에서도 모든 벡터가 다른 벡터의 선형결합으로 표현된다는게 아니라 “최소” 한 벡터는 다른 벡터의 선형결합으로 표현된다고 하고있음
아 제가 잘못 이해하고있었네요.. 모든 벡터 중에서 무작위로 고른 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현된다. 라고 이해했었네요.. 명쾌한 설명 감사합니다!!
내가보기엔 3번문제는 이런거같음. "R³에 살고있는 벡터 4개면 무조건 dependent 한거 알지??? dependent 한거 보이겠답시고 au+bv+cz=w 만족하는 a,b,c 찾고있으면 혼난다???"
실제로 3u+v=z 니까 dependent이고 <u,v,z>=<u,v> 임. 거기에 더해서 w는 <u,v> 의 원소가 아님. 다시말해 u,v,w는 기저지만 u,v,z는 기저가 아닌거임. 그래서 3번에서 제시하는 선형조합은 찾을수가 없는거고, 그게 '모순되지 않는' 이유는 다른갤럼들이 잘 설명해줬고
아하 문제의 의도는 쓸데없는 짓 하지말고 정리8, 정리9 사용해서 간단하게 linearly dependent 한지 찾아라! 인거였군요.. 앞으로 헷갈릴 때는 Ax=0 augmented matrix 조합하고 row reduce 해보고 vector equation 으로 표시해서 확인부터 해봐야겠네요 감사합니다!