[중고딩문제] 삼각형의 무게중심 잘 이해가 안 갑니다.

[익명(220.127)]

교육과정에서 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 평균으로 배웠습니다.

여기서 세 꼭짓점의 무게중심과 삼각형이 포함하는 무한한 점들의 평균이 같은 이유를 이해하지 못했습니다.

[익명(58.233)]

직관적으로 생각해보셈. 각 꼭짓점으로부터 동일한 상대적인 위치에 있는 세 점들의 평균은 모두 무게중심 아니겠음?

[익명(58.233)]

좀 아리까리하면 답글ㄱ. 그림으로 설명해드림.

[익명(220.127)]

음... 동일한 상대적인 위치에 있다는 게 무슨 말인지 모르겠습니다. 각 점마다 무게중심까지의 거리는 다를 수 있지 않나요

[익명(58.233)]

https://m.dcinside.com/board/math/54444

[익명(1.239)]

이렇게 생각해봐 너가 중선을 하나 그으면, 삼각형의 밀도가 균일하다는 가정하에, 나뉘어진 두 삼각형의 무게는 같음. 너가 손가락 위에 이 삼각형을 가만히 올려두고 싶다면 두 삼각형의 무게가 같기 때문에 적어도 중선 어딘가에 무게중심이 있어야 한단걸 알 수 있음

[익명(220.127)]

아 그건 이미 생각해봐서 아는 내용이에요. 근데 하나 더 추가하자면 무게가 아니라 돌림힘이 같아야 해요. 그러니까 축으로부터의 거리도 고려해서요

[익명(220.127)]

그런데 저는 그 무게중심이 세 꼭짓점과 같다는 건 잘 이해가 안 가서 질문드린거예요

[익명(59.11)]

밑변을 기준으로 선분의 무게중심을 쭉 잇는다 생각해보셈 그게 중선이고 무게중심은 중선 위에 있을수밖에 없으니 중선들의 교점을 구하면 그게 무게중심임 점 4개 이상 생각해보면 무게중심이 좌표들의 평균일 필요는 없음 사각형이나 사각뿔만 생각해봐도 반례가 나옴 점 2, 3개일 때만 무게중심이랑 좌표의 평균이 특별하게 같음

[수갤러 1(220.71)]

어떤 삼각형과 닮았지만 아주 작은 한 삼각형을 생각해보셈 엄청 작아서 무게중심과 세 꼭짓점이 사실상 일치할 정도의 삼각형말이야

[수갤러 1(220.71)]

거기서 삼각형의 테두리에 아주 약간 크고 아주얇은 테두리를 쌓아나가면서 비율은 유지한 채 삼각형의 크기를 점점 키워나가는거임 계속 그래도 무게중심은 항상 똑같지않겠음?

[수갤러 1(220.71)]

똑같지않겠음?

[익명(220.127)]

이런 방법을 사용하면 임의의 사각형도 원래 무게중심과 같다는 걸 보일 수 있지 않나요? 윗 분 말처럼 사각형은 반례가 존재하는데 무엇이 잘못된건가요

[수갤러 2(222.232)]

그냥 삼각형에 중선이 있다고 생각하고, 중선으로 부터 거리가 같은 평행선 두 개와 삼각형이 만나는 부분을 생각하면 거리가 똑같지 않음? 그래서 r이 똑같은 곳에 동일한 질량이 있고 따라서 중선으로 나뉜 두 부분의 돌림힘은 같음. 그러므로 세 중선의 교점이 무게중심이다.

[수갤러 2(222.232)]

거리가 아니라 길이가 똑같다는 말이었음

[수갤러 2(222.232)]

세 중선의 교점이 유일하게 존재하고 그것이 세 꼭짓점 좌표의 평균이라는 건 중학교와 고등학교 교과서에 나옴

[익명(220.127)]

아 이것도 고민하다 생각해본 건데 그 중선에 수직하고 중선과의 교점을 0,0으로 하는 적당한 평면으로 봤더니 삼각형의 세 꼭짓점의 평균이 무게중심인 건 찾았거든요. 근데 이건 한 단면에서의 좌표를 찾은 거고 다른 중선에서도 삼각형을 살펴봐야 하는데... 그러면 제가 본 두 평면이 수직이 아닐 수도 있어서... 제가 아직 좌표계의 회전이나 이런 건 잘 몰라갖고 유기한 방법이에요... 말로 풀어쓰기가 좀 어렵네요.

[익명(220.127)]

그러니까 두 중선에 수직인 각각의 평면이 수직이 아니면 원래 직교좌표계로 값을 나타내는 방법을 몰라갖고요...

[수갤러 2(222.232)]

무슨 소린지 잘 모르겠는데… 세 중선의 교점을 좌표로 구하는걸 못하겠단 거임?

[익명(220.127)]

네네. 말로 표현하기가 어렵네요 . 하 이래서 배워야하나봐요

[수갤러 2(222.232)]

내각의 이등분선에 관한 정리와 내분점 공식을 알면 두 중선의 교점을 쉽게 구할 수 있는데 삼각형 무게중심 좌표 증명 정도는 그냥 인터넷에 증명 널려있을듯

[익명(oen0c)]

삼각형 적당히 돌리고 옮겨서 (0,0) (a,b) (c,0)으로 옮길수있는 거는 이해함?