[일반] Direct product 증명좀

[익명(155.230)]

모르겠어 진짜

[수갤러 1(68.161)]

gcd(|a|, |b|) = 1일때 |(a, b)| = d라고 가정하자. (a, b)^d = (e, e) => |a| | d, |b| | d => |a||b| | d => d = |a||b| => (a, b) generator. 반대로 (a) x (b) 가 순환군이고 (a^j, b^k)가 generator이라고 했을때 a^{j * lcm(|a|, |b|)} = e, b^{k * lcm(|a|, |b|)} = e인걸 알수 있음. 근데 (a^j, b^k)가 generator이니 |a||b| | lcm(|a|, |b|) => gcd(|a|, |b|) = 1

[수갤러 2(118.235)]

(a,b)가 generater 인 이유는 <(a,b)>가 G×H의 부분집합인데 크기가 같으니까 결국 같은집합이라 그런거?

[수갤러 1(68.161)]

ㅇㅇ

[수갤러 3(27.35)]

고마웡

[익명(116.36)]

ord(a)=m ord(b)=n 이라고 쓸때 정방향은 <a>x<b>의 생성원을 (x,y)라 할때 m,n이 서로소가 아니라 가정하면 lcm(m,n)<mn 이고 x^lcm(m,n)=1 y^lcm(m,n)=1 이므로 <(x,y)>의 원소의 개수가 mn보다 적어서 모순. 역방향는 그냥 (a,b)가 생성원이 됨

[수갤러 3(27.35)]

고마웡