Z_6 이 있다고 치면
각 원소는 나머지가 x인 정수의 집합이잖아 0<=x<6 x는 정수
여기에 + 라는 연산을 정의해야하는데
연산의 대상이 집합인데
각 집합을 x 바로 표현하고
x바 +y바= x+y 바 로 정의하는게 뭔가 어색함
{x1,x2,x3...}+{y1,y2,y3..}={x1+y1, x2+y2...}
+가 이렇게 정의된다면 납득하겠는데
그게 아니잖아
뭐랄까 직접계산해서 보이고 싶은데 그게 안되니까
연산은
집합에 대해 닫혀있고 유일하고 모든 원소의 순서쌍에대해 정의된다
위 세조건만 만족하면 연산이라고 부를수 있는거야?
+를 Z_6×Z_6 -> Z_6 인 함수라고 생각해도 댐?
각 원소는 나머지가 x인 정수의 집합이잖아 0<=x<6 x는 정수
여기에 + 라는 연산을 정의해야하는데
연산의 대상이 집합인데
각 집합을 x 바로 표현하고
x바 +y바= x+y 바 로 정의하는게 뭔가 어색함
{x1,x2,x3...}+{y1,y2,y3..}={x1+y1, x2+y2...}
+가 이렇게 정의된다면 납득하겠는데
그게 아니잖아
뭐랄까 직접계산해서 보이고 싶은데 그게 안되니까
연산은
집합에 대해 닫혀있고 유일하고 모든 원소의 순서쌍에대해 정의된다
위 세조건만 만족하면 연산이라고 부를수 있는거야?
+를 Z_6×Z_6 -> Z_6 인 함수라고 생각해도 댐?
덧셈의 정의를 그렇게 하면 (1, 2, 3) + (-1, -2, -3) 과 (1, 2, 3) + (-2, -3, -1)가 정의됨?
연산의 결과가 유일하지 않네, x바+y바=x+y바가 타당한 이유는 연산의 세 정의를 만족하기때문임?
함수는 well define되는게 전제임 연산의 세 정의가 무슨말인지 모르겠는데 동치관계의 정의라면 이 논의 이전의 얘기임 벌써부터 가환이라고 생각하면 곤란함
{x1,x2,x3...}+{y1,y2,y3..}={x1+y1, x2+y2...}가 아니라 {x1,x2,x3...}+{y1,y2,y3..}={xi+yj들}로 정의해야겠지. 그리고 그렇게 정의하면 x바 +y바= x+y 바 로 정의한 것과 동일하다.
정확히 말하면 Z6 은 Z를 6Z로 자른(quotient) 군인데 그게 가능한 이유가 6Z가 normal이라 가능한거임. 결국 너가 제시한 집합연산 A+B={a+b| aㅌA, bㅌB} 이랑 bar(n)+bar(m)=bar(n+m) 이 정의가 서로 같은 연산임을 확인해보긴 해야지
또는 정수론으로 돌아가보면 네 질문은 a ≡ b (mod6) x ≡ y (mod6) 이면 a+x ≡ b+y (mod6) 이 성립하냐는 질문과 같음
내가 제시한 연산이 연산이 아니네 먼가 집합끼리 연산한다는게 어색함 Quotient group에서 Coset끼리의 연산이 합당한 이유는 세가지 연산의 정의를 만족하기때문인거?
군 G와 그 부분군 H가 있다 치고 H 왼쪽에 g를 더한 g+H 각각을 (left)coset이라고 하자. 네 예시에서는 G=Z, H=6Z 임. 두 coset x+H={x1,x2,...}, y+H={y1,y2,...} 에 대해서 덧셈을 다음과같이 정의해보자. (x+H)+(y+H) = (x+y)+H
사실 이 정의는 우리의 "희망" 이 담겨있는거임. x+H 랑 y+H의 덧셈은 (x+y)+H 이면 참 좋겠다는거지. 그러니까, 실제로 (x+H) 안의 원소들과 (y+H) 안의 원소들을 아무거나 두가 뽑아서 더한 결과를 모은 집합 {a+b | aㅌ(x+H), bㅌ(y+H) } 이 결국 (x+y)+H 와 같길 바라는거야. 왜냐하면 (x+h)+(y+h')!=(x+y)+(h+h') ㅌ (x+y)+H 니까
그러니까 지금 두개의 집합덧셈이 있는거임. (x+H)+(y+H)=(x+y)+H 이 덧셈과 집합 A,B가 있으면 두 집합을 섞어가지고 만들 수 있는 모든 원소들의 집합덧셈 A♡B={a+b | aㅌA, bㅌB} 차이점은, (a+b)+H 는 항상 coset이지만 (a+H)♡(b+H) 는 coset 이 아닐수도 있다는거임.
(x+H)+(y+H) =(x+H)♡(y+H) 이기 위해서는 H가 normal 이어야됨. 왜냐하면 내가 18:04에 단 댓글 맨 마지막줄 수식에 보면 두번째 등호로 넘어갈 때 h+y 를 y+h 로 바꾸는게, 그 과정을 정당화할 수 있어야되거든. 교환법칙이 성립해야되는데, 완전 교환법칙일 필요는 없고 H에 한정해서만 교환법칙이면 됨. 구설수를 더 붙이자면"H에 한정해서 교횐법칙이 성립할 것" 이라는 조건이 곧 H가 normal subgroup이라는 소리임
알겠거니 하고 안쓴게 있는데 x+H= { x+h | hㅌH } 임.
(x+H) 안의 원소들과 (y+H) 안의 원소들을 아무거나 두가 뽑아서 더한 결과를 모은 집합 {a+b | aㅌ(x+H), bㅌ(y+H) } 집합 끼리의 덧셈은 위와같이 정의된다는거구나 몰랐음
ㅇㅇ G랑 G/H는 다른연산이지 지금 이 글의 주제가 G/H에서의 덧셈연산이 무슨 의미냐, 말이 되긴 하느냐? 잖음? 그래서 내 대답은 : ♡ 연산과 (x+H) `+` (y+H) = (x+y)+H 으로 정의된 연산 `+`이 같아야된다는 얘기임 내가 표현력이 떨어져서 설명이 좀 길어지긴 하는데 결국 정의의 문제라 간결하게 설명하기가 힘드네
찰스 핀터책으로 공부하는데 여기서는 집합끼리연산하는게 어떤건지 설명은 없고 정의를 Ha*Hb=Hab 이다 라고 하자 그리고 H가 노멀일때 연산결과가 유일하다 책의 시작 부분에 연산은 결과가 유일, 닫혀있다, 모든 원소에 대해 값이 존재한다가 연산의 정의다라고 적혀짐 그래서 나는 코셋끼리의 * 이 위 세 정의를 만족하니까 문제 없다고 생각했는데 이렇 논리로
ㅇㅇ 근데 모든집합에 대해 A+B가 정의되는건 아님 덧셈 +라는게 존재해야 하니까 최소한도 A,B가 G의 부분집합 이어야지 우리는 G의 부분집합 중 특히 H의 coset들 사이에 통용되는 적당한 덧셈연산을 부여하려는거고, 그 coset 연산은 "아무거나 두개 뽑아서 더한 결과를 모은 집합" 이어야만 말이 될거임. 유일한 문제는 그 "아무거나 두개 더한 결과 모은" 놈이 coset이냐는 질문이고.
코셋 끼리의 연산이 타당하다고 봐도댐?
아하 지금 댓글 시간차가 있는데 감안해서 들어줘 너가 말하는 핀터에서의 논리전개가 사실 교과서적인거임. 내가 거꾸로 하고있는거고. aHbH=(ab)H 로 정의해놓고 "representative를 뭐로 잡든 상관없다" 를 증명함으로서 저 연산이 잘 정의됨을 증명해도 됨.
교과서적인 전개를 따르면 결국 "representative 를 뭐로 잡든 상관없다" 를 증명하는 과정에서 H가 normal 일 조건을 사용하게 되고, aHbH=(ab)H 이 연산이 이항연산이 됨. ㅇㅇ 네말대로 그런 과정을 통해 coset 연산이 타당하다고 봐도 됨.
ㅇㅋㅇㅋ 결국 코셋끼리 연산이 타당한이유는 연산의 세가지 정의를 만족하므로라고 생각하겠음 알려줘서 고마움