[일반] 근데 유한집합의 가산합집합이 가산이라는 것도

[익명(211.119)]

증명에 선택공리 필요함?

[ㄹㄹ(175.125)]

그거는 첫 번째집합부터 다 세고 두번째집합 세고 그런식으로 하면 다 셀수있잖아...

[익명(211.119)]

아 그렇네.. 바보가 된 기분이네...

[수갤러 2(220.81)]

선택공리까지는 필요없지만 선택공리보다 약한건 (e.g., axiom of countable choice for finite sets) 필요함.

[수갤러 2(220.81)]

예를 들어서 F_1 , F_2 , ... 들이 유한집합이라고 할 때, i번째 집합 F_i을 센다는것은 k_i를 F_i의 cardinality라고 할때 어떤 {1,...,k_i}와 F_i 사이의 특정한 bijection을 고른다는 이야기임. {1,...,k_i}와 F_i 사이의 bijection들의 모임을 G_i라 하면, 그러니까 첫번째 댓글처럼 F_1을 세고, F_2를 세고, ... 이런 작업을 전부 거쳐서 원하는 함수를 설계하려면 G_1 , G_2 , ...에서 bijection들을 각각 하나씩 동시에 뽑아줘야하고, 여기서 axiom of countable choice for finite sets가 적용되는것

[익명(1.239)]

게이야 at most countable한걸 증명하는데 그게 왜 필요하노

[수갤러 2(220.81)]

왜 필요하냐니. 본문의 명제와 axiom of countable choice for finite sets은 ZF에서 동치다. 심지어 각 유한집합의 크기가 전부 2일때를 고려한 axiom of countable choice for two-element sets도 ZF에서는 보이지 못해. (Russell's shoes and socks 참고)
이러한 countable union of two-element sets의 cardinality에 관한 논문도 있다.
https://eudml.org/doc/249882

[익명(1.239)]

아 그러네 내가 잘못 앎 ㅋㅋ ㅈㅅ

[수갤러 1(1.239)]

바부