맨 위에서 조건에서 A와 B의 limit point 라는게 기준이 X인지 Y인지 헷갈립니다



첫번째 증명에서는 기준이 Y인 이유가
A = A의 closure 인 이유가 A가 Y에서 모두 open and closed 이기 때문이라는데,

그리고 밑에서 A의 limit point가 A의 closure 의 부분집합이라는걸 이용하는데 그럼 limit point 가 Y에서의 limit point인게 맞죠?
예를 들어 x가 실수 전체 y가 (1,2) (3,4)일때 1,2는 limit point가 아닌거 아닌가요? 여기 위에 기준에 따르면

근데 또 밑에 두번째 증명에서는 기준이 X인게

A와 B의 교집합이 공집합, A의 limit point와 B의 교집합이 공집합인걸 이용해서 A의 closure과 B의 교집합이 공집합인걸 알아내는데,

X에서의 closed set 인 A의 closure와 Y의 교집합이 A라서 A가 Y에서 closed라는걸 알아내는데 그럼

여기서 A’는 X에서의 limit point 라는걸 이용한거 아닌가요?
헷갈려요..