[일반] polynomial ring의 indeterminate 질문

[익명(1.251)]

책에서 indeterminate가 뭔지에 대해서 명확히 안나와있어서 스택쳐봣는데 이런게 나옴

1) 책에서 이런 x의 성질을 바로 소개해주지 않은 이유가

extension field나 transcendental 등의 개념을 바로 소개할 수 없어서인가?

2) 사진에 x가 element라고 나오는데 그럼 무엇의 원소임?

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[TQFT(lemonkx)]

본문의 내용대로 indeterminate의 정의가 모호할 수 있다는 점이 있기에, 가장 엄밀하게 ring R의 polynomial ring을 정의할 때는 countably many copy of R의 direct sum으로 정의하게 됨.

[TQFT(lemonkx)]

x^2+x-2 같은 경우엔 (-2,1,1,0,0,...)과 같은 sequence가 되겠지. 이 때 direct sum의 구조는 덧셈구조에만 적용되고, 곱셈구조는 position-wise가 아니고 우리가 생각하는 polynomial의 곱셈에 대응하게 (Cauchy product of sequences) 줘야하겠지.

[TQFT(lemonkx)]

다음 링크를 참조:
https://math.stackexchange.com/questions/4377740/definition-of-polynomial-ring

[익명(1.251)]

오잉 이건 처음보는건데.. 이 정의를 받아들여야할 필요성을 모르겠는데 내가적어놓은 indeterminate정의의 무슨 모호함을 말하는거고, 얘가 그 모호함을 어케 해결해준다는거임?? - dc App

[TQFT(lemonkx)]

direct sum은 Cartesian product를 바탕으로 기초적(집합론적)으로 잘 정의되는 대상임. 2번 질문에서 x가 어떤 집합의 원소인지 물어봤는데, R[x]를 countable direct sum of R로 생각하면 x=(0,1,0,0,...)은 잘 정의된 집합의 원소가 됨. 물론 이게 polynomial ring이 가져야하는 성질이나 indeterminate x의 성질을 바로 보장해주는 건 아닌데 최소한 2번 질문에 대한 답은 명확하게 해줄 수 있다는 거.

[익명(1.251)]

아 그러네 ㄱㅅ 근데 이 정의가 내가 올린 정의와 동치관계가 돼야할텐데 이렇게 정의한(님이 소개해준 정의) indeterminate가 transcendental over R이 되는지는 뒤에 이야기가 더 있음?? 그냥 보기엔 아무 관계 없어보여서.. - dc App

[TQFT(lemonkx)]

방금 말한대로 그 문제에 대해선 추가적인 논의가 필요하긴 한데 사실 그렇게 어려운 문제는 아님. R[x]에서 a_nx^n+...a_0=0이라는 대수방정식은 direct sum 표기로는 (a_0,...,a_n,0,0,...)=(0,...,0,0,0,...)이라는 식이 되고 이로부터 R 위에서 x가 transcendental이라는 걸 확인할 수 있음.

[익명(1.251)]

오 그렇구나 무한한 감사! - dc App