[일반] 표준적 초구와 위상동형이지만 미분동형은 아닌것이 무슨뜻임?

[익명(210.183)]

갑자기 궁금함

[익명(106.102)]

위상동형이라고 미분동형인게 아니예요...

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

윗 댓글말대로 일반적으로 저게 성립하는건 당연히 아닌데, n-sphere에서 n이 12일때는 반례가 없는걸 확인할 수 있음(혹은 n sphere에 줄 수 있는 n dim structure는 유일) 하지만 일반적인 n에서 성립하는 것 또한 아니라고

[그게(121.133)]

Poincare 가설이 대략 3차원 구 S^3와 homotopy equivalent하면 homeomorphic한가 잖아요. 이것의 그 다음 버전이라 생각하면 됩니다. S^3와 homeomorphic하면 diffeomorphic한가. 고차원으로 일반화하면 n차원 구 S^n과 homeomorphic하면 diffeomorphic한가? 이에 대해 많은 연구가 진행되었고, 그 결과가 ㅅㄲㅁㅇ님이 걸어주신 링크입니다. exotic S^7이 존재한다는 것으로 Milnor가 필즈상을 받았습니다. S^4에 대해서는 알려진 것이 거의 없는데, 이거 풀면 또 당연히 필즈상.

[그게(121.133)]

특히 4차원 미분다양체들에 대해서 주어진 4차원 미분다양체와 homoemorphic하지만 diffeomorphic하지 않은예들을 찾는 문제가 중요하게 연구되고 있습니다. 아마 2000년대 이후 대략 10여년 간은 이 문제가 4차원 다양체 쪽에서는 가장 활발하게 연구되었던 주제였습니다.

[익명(175.223)]

어째 현재진행형은 아닌 느낌이네요..

[그게(121.133)]

아주 활발하게 연구되어 기존에 알려진 방법들로 얻어낼 수 있는 최대치를 얻어낸 것 같습니다. 어려운 부분들만 남아서 정체기에 접어든... 새로운 아이디어가 필요한 시기입니다.