[일반] 메져 질문

[익명(117.111)]

1. 두 sigma-finite measure lambda와 mu에 대해서
lambda<<mu일때 radon nikodym derivative f가 존재하잔아요
이 f가 a.e. finite-valued임을 어케보이면 될까요?

2. fn이 Lp에서 f에수렴하고
g는 연속인 실함수고 g(fn), g(f)전부 Lp에들가지만
g(fn)은 g(f)로 Lp에서수렴하지 않는 예시가 잇나요?

이거 두개만 모르겟음 ㅠㅠ

[겨울_(silhouet72)]

2번은
https://math.stackexchange.com/questions/1505826/composition-with-a-continuous-map-preserves-lp-convergence

[익명(117.111)]

감사합니다.

[익명(88.144)]

sigma finiteness를 어떻게 활용할지 생각해보면.. 예를 들어서 X를 증가하는 finite measure를 갖는 disjoint한 X_1. X_2 , ...들로 모두 덮을수 있잖음. 그리고 각 X_i 내에서 f가 real valued가 아닌 점들의 모임 Y_i는 measure zero가 되어야 함. 아니라면 lambda(X_i)가 f를 X_i 위에서 적분한건데 이게 유한일수 없게 되니까. f가 real valued가 아닌 점들의 모임은 Y_i들의 union인데, 각 Y_i가 measure zero니까 그것의 countable union도 measure zero가 되어야겠지.

[익명(117.111)]

감사합니다.