하우스도르프 성질이

서로 다른 두 점을 서로소 열린집합으로 분리할 수 있다는 성질인데

이게 수열의 극한이 잘 정의되는지랑 밀접한 관련이 있는 성질인데

왜냐하면 수열의 극한의 정의에 열린구간이 등장하기 때문임.

뭉크레스 앞쪽에 나오는 예시인데 집합 {a, b, c}에 위상을

T = {φ, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}

로 주면, 저게 열린집합을 지정해주는 거니까

a, a, a, ... 같이 모든 항의 값이 a인 무한수열이 있을 때

통상의 극한의 정의(엡델)를 가져오면

a가 포함된 열린집합이 {a, b}, {a, b, c} 뿐이라

실직선 위의 엡델에서 "a를 중심으로 하는 반경 ε의 열린구간"의

역할을 해줄 수 있는 게 {a, b} 뿐이라서

극한값을 b라고 얘기할 수도 있게 되어

하우스도르프 공간이 아닌 경우

수열의 수렴값이 유일하지 않게 된다고 알고 있음.



근데 반대로 생각해보면

"lim n->infty a_n = a"에 대한 엡델 정의:

"어떤 자연수 N이 존재하여 n > N과 임의의 양수 ε에 대해

|a_n - a| < ε이 성립할 때 lim a_n = a 라고 한다"가,

어떤 ε-열린구간으로도 분리해낼 수 없는 서로 다른 두 점

a와 a_n이 존재한다는 것처럼 들리는데

이건 하우스도르프 성질이랑 모순되는 것 같음.

a를 중심으로 하는 어떤 열린반경을 가져와도

어떤 N 이상의 항부터는 수열의 항이 열린반경 안에 있을 때

수열이 a로 수렴한다고 하자는 게 엡델 정의잖음?



하우스도르프 성질이 유지된다면

수열의 항 a_n이랑 수렴값 a를 분리할 수 있는

서로소 열린집합이 항상 존재해야 하는데

그럼 그 중에서 a를 포함하는 놈을 ε-열린반경으로 잡으면

a를 중심으로 하지만 a_n을 포함하지 않는 ε-열린반경이 존재하니

엡델 정의에 위배되는 거 아님?



제 생각에서 어느 부분이 개소리인지 알려주십시오 수잘알 형님들