[일반] 도함수가 자기 자신인 함수

[익명(125.185)]

도함수가 자기 자신임 함수는 e^x에서 유일한거임?

[ALTa(tladud123)]

ae^x 꼴로 유일

[익명(125.185)]

dy/dx = y 1/y*dy = dx ln|y| = x + c y = e^x*e^c 이렇게 증명했는데 맞는거임?

[ALTa(tladud123)]

디테일에서 틀렸는데 y ≠ 0 이라고 가정하고 나눴기 때문에 결과값에 상수함수 y = 0이 추가되어야 하고, ln|y| = x+C 를 풀면 y = ± e^C * e^x 이므로, y = a*e^x (a≠0) 라고 쓸 수 있음. 여기에 상수함수 y = 0 을 추가하면 y = a*e^x

[익명(125.185)]

ㄱㅅㄱㅅ

[익명(tonystar22)]

y=0

[익명(116.36)]

ce^x

[MetaFibonacci(equivalence)]

[수갤러 1(118.235)]

엄밀하게 푸는 다른 방법으로는, (ye^(-x))' = e^(-x)(y'-y) = 0 이므로 (평균값 정리로부터) ye^(-x) = C (C는 적분상수). 를 얻는, 풀이가 있음.

[수갤러 1(118.235)]

평균값 정리가 쓰이는 Detail은, 다음 보조정리 "구간 I⊆R에서 정의된 f : I -> R가 f' = 0 이면 f는 상수함수" 를 사용한다는 건데, 바로 이 정리를 증명할 때 평균값 정리를 이용함.