[일반] 수학문제풀다가 갑자기 궁금해진건데

[익명(223.39)]

치역이 모든 실수일 때 그 모든 치역들의 합은 항상 0임?

[수갤러 1(61.254)]

모든 실수들의 합을 어캐 정의할거임

[수갤러 2(218.54)]

모든 실수의 합을 말하고싶은거임? 치역이 왜나온거지

[수갤러 2(218.54)]

결론부터 말하자면 모든 실수의 합이 잘 정의되려면 모든 양의 실수의 합이 정의되어야 하는게 통상적으로 받아들여지는 절차임. 모든 양의 실수의 합이 뭘까.. 그만 알아보도록 하자

[수갤러 3(58.121)]

고2인데 걍 닥치고 문제나 풀겠습니다..감사합니다

[수갤러 2(218.54)]

화이팅

[익명(183.102)]

유한합의 상한으로 정의하잖음

[수갤러 2(218.54)]

맞음. 양수로 이루어진 집합의 모든 원소의 합은 그 집합의 유한합의 상한(쉽게말하면 최대값)으로 정의하고, 이렇게 양수 집합의 합을 정의한다음에는 임의의 집합의 모든 원소의 합은 그 집합을 양수들과 음수들로 나눈다음 음수들의 합은 부호 바꿔서 합을 구하고 다시 부호 바꿔서 양수들의 합과 더하는것으로 구함.

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

근데 이건 그냥 대칭이라 0으로 보면 안되냐 이유가 뭐지

[수갤러 4(58.238)]

대칭축이 0뿐이냐구

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

다른 곳도 대칭이 됨??

[수갤러 2(218.54)]

아마 이상적분의 cauchy principal value 때문에 그렇게 생각하는거같은데 애초에 비가산 덧셈은 정의가 안됨. 당장 구간 (0,1) 의 모든 수를 더하는거도 못하는데 (-1,1)은 된다고 주장하는거도 무리수이거니와 모든 실수를 더한다는것도 말이안되지

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

그니까 왜??

[수갤러 2(218.54)]

위에 내가 올린 댓글 읽어보셈. 저 방법으로는 아무리 작은 양의 열린구간을 가져와도 그 합산값이 무한대로 발산함

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

그래서 하고 싶은 말이 뭔데 저건 실수 전체를 더하는 방법이잖아. 비가산집합은 더할 수 없다고? 저 방식대로 더해야만 하는 이유는 뭐임?

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

더하는 데에 일종의 순서가 있는 건가??

[수갤러 2(218.54)]

나는 수학에서 일반적으로 받아들여지는 합에 대한 정의를 말한 것 뿐임. 정 받아들이기 힘들다면 너 마음대로 생각해도 됨. 다만 너의 주장이 유의미한 논의가 되려면 실수 전체의 합만을 위한 특별변론이 아니라 그 합의 정의가 임의의 실수집합에서도 잘 정의되어야 할것임은 분명함.

[수갤러 2(218.54)]

그리고 내가 써놓은 정의가 엄청 어색하게 느껴진다면 그건 그냥 수학 공부 경험이 부족한것이 원인일 가능성이 큼. 적분도 저런방식으로 정의하고 절대수렴하는 무한급수도 저런 정의를 도입했을때 그 값이 잘 일치함. "그래서 하고싶은 말이 뭔데" 라고 성낼게 아니라 공부를 더 많이 해보셈.

[수갤러 2(218.54)]

참고로 햇갈릴까봐 다시말하자면 내가 만들어낸 정의가 아님. 원래 잘 알려진 일반화된 "순서가 없는 합" 의 정의임. 이 정의는 순서를 바꾸는것으로 수렴값을 원하는 아무런 값으로 바꿀수 있는 이상한 합인 "조건부 수렴 무한급수" 를 배제하고자 도입된 합의 정의임.

[수갤러 2(218.54)]

더해야할 대상이 그냥 집합이 아니라 특별하게 순서가 부여된 수열같은 경우에는 그것을 위한 특별한 합이 필요할테지만, 그냥 집합을 더하는데 사람마다 자기맘대로 순서같은 것을 부여해서 더할 수 있도록 한다면, 그리고 각자만의 순서 규칙에 따라 합의 값이 달라진다면 그건 옳은 합의 정의일 수 없음. 순서가 없는 합의 정의는 그렇기에 필요함.

[24시카페전기도둑(977haenl5a8a)]

ㄱㅅ 이해함