대학원 과정도 좀 있을 수 있는데 다 배제하고 학부 때 배운 것 중에, 야 이건 진짜 인상적이다 이렇게 생각한 거만 적어봄


1. Gauss Theorema Egregium


솔직히 아직도 이 정리가 왜 대단한진 모르겠는데 가우스가 놀랍다니까 대단한거라고 생각하고 그냥 적어봄.

곡률이라는 게 순전히 외재적으로 정의된 양인데, 미분기하에서 배웠던 모든 것들을 총망라해서는 결국 내재적인 값으로 바꿀 수 있고 따라서 그렇게 정의할 수 있다는,

가우스의 이 놀랍기만 한 정리는 진짜 계산양 때문에 어찌보면 참으로 놀라운, 즉 계산 변태스러워서 놀라자빠질 그런 정리로 기억에 남아있음.. 그냥 굉장히 인상적이었다.


참고로 나는 Gauss-Bonnet 정리를 제대로 배우지 못했던 게 한임. 만약 배웠으면 가우스의 놀라운 정리보다 더 좋았던 정리로 여기 기록되었을텐데 말이지.. 사실 학부 미분기하는 직관이 중요한 거 같음. 이거 대체 왜 계산하는지 모르면 진짜 외계어 수업이고, 아무짝에 쓸모도 없는거지. 근데 왜 계산하는지 안다고 뭐가 달라지냐 하면 그 대답도 NO인듯. 그냥 뭔가 이 기나긴 계산 끝에 내가 먼가 얻어낼 것이다 하는 그런 희망을 가지고 조지는 수밖에 없는 그런 과목이라고 본다. 미분기하혐오가 팽배한 이유도 그러한 이유가 아닐까. 이해가 되는 순간이다.


2. Galois Theory


사실 갈루아 이론 자체보다는 체론과 갈루아 이론에서 다루는 그런 토픽들이 굉장히 인상적이었음.

어떻게 체를 확장하는지, 어떤 다항식의 갈루아 군을 구하고 그 밑에 Intermediate Field를 구한다든지, Fixed Field를 구하는 테크닉이라든지 이런게 알게 모르게 너무 아름답다고 해야하나.. 왜 그런진 모르겠는데, 아마도 Q의 다항식이 그토록 세심한 구조를 갖고 있고 우리가 해를 알면 계산을 통해 검증해볼 수 있고, 설사 모르더라도 이론적으로 그 구조를 다 알아버리고야 마는, 강력한 이론이라는 점에서 이런 인상을 받은게 아닐까 생각이 들긴 함. 눈에 보이는 불변량을 마주한게 어찌보면 갈루아 이론이 처음인 것 같기도 하고.. 아무튼 대칭성의 아름다움을 강렬히 느껴버리고 말았음.

물론 유한체와 표수 p의 체들이 존재한 것도 한몫했던 거 같음. 그게 이론을 더 어렵게 만들었지만 더 풍성하게 만든 것 같아서. 그것도 +요인


3. Homotopy Theory


물론 학부니까 고차 호모토피 같은 건 다루지 않지만, 기본군만으로도 모든 게 설명됨. 단지 공간 상의 루프가 어떻게 다른 루프와 관계를 맺는 지를 통해 공간의 중요한 위상적 성질을 잡아낸다니. 그리고 그게 군의 구조를 갖고 있다니! 특히, 이거 배우고 유니버설 커버랑 덱 변환 배우고나면 더할 것 없이 만족스럽게 됨. 위의 갈루아 이론처럼 군론이 수학에서 대체 무슨 일을 하고 있는지 알아버리고야 마는 중요한 순간이었음.


호모토피 이론은 정말 기본적인 것만 배웠기 때문에 이 이상으로 쓸 게 없음..


4. Inverse Function Theorem/Implicit Function Theorem


이 정리는 위의 세 개와 달리 들을 때는 몰랐지만 나중에 다양한 응용처를 보고나서야 비로소 머리에 콱 박히게된 그런 종류의 정리임. 물론 들을 때도 야 이 정리 정말 좋은데? 와 같은 기호에 따른 판단이 있었긴 하지만. 이게 유달리 중요하다고까진 생각하지 못한 그저 시험에서 조건 외우기나 빡센 거라고 여겼던, 그런 씁쓸한 기억을 간직하고 있기도 함.


5. Complex Analysis


복소 적분을 아주 저학년 때 들었기 때문에, 나는 당장 이해가 가능한, 눈에 보이는 것들을 좋아했음. Reflection Principle? Liouville? Fundamental Theorem of Algebra? 나한텐 불행히도 So what?이었다. 그런데 Cauchy Formula, Residue Theorem, Argument Principle 등등 이런 건 뭔가 내게 영감을 주었음. 

로랑 급수나 코시 적분공식같은 건 테일러 급수 뽕 맞았던 시절이어서 뭔가 순차적으로 계수를 찾는 과정을 좋아했기 때문이고,

코시 적분 정리나 레지듀 같은 거 경로를 따라 적분하는 것이 단 하나의 점에 의해 결정된다는 사실이,  뭔가를 둘러 적분하면 그 내부의 유한한 점에 의해 결정된다는 게 너무 좋았다.

그리고 콘포멀 사상정리는, 비록 그 학기에 내가 다 이해하진 못했지만, 뫼비우스 변환과 연관되고 그림을 통해 이해할 수 있었기 때문에 즐기면서 할 수 있었음 


복소 함수론이 생각해보면 재밌는 게 많았던 거 같은데, 내가 저학년때 듣지 않고 좀 더 고학년일 때 들었더라면 더 많은 걸 얻을 수 있었을 수도.. Branch cut이 아니라 리만 곡면의 언어로 배웠으면 좀 덜 헷갈리지 않았을까 하는 그런 생각도 해본다.. ㅋㅋ


이외엔 학부 수준에서 그렇게 흥미롭다 여긴 건 없었음. 그나마 조르단 폼이나 PDE, 메져 이론 이런 게 좀 잼써보였긴 하지만 난 이들을 제대로 배워본적이 없기 땜시 더 할말은 없네. 길이를 보면 알겠지만 다른 거에 비해 나는 갈루아 이론을 제일 좋아했고 성적도 그에 맞춰 다른 거에 비해 잘 나왔다.