다음 두 정리가 같은 의미라고 하는데 왜 같은 의미인지 모르겠음.
1.벡터공간 V에 대하여 S를 V의 부분집합이라고 하자. 그러면 (S의 진부분집합 중 span이 S의 span과 같은 것이 없다)<==>(S는 선형독립이다) 이다.
2.벡터공간 V에 대하여 V의 부분집합 S를 선형독립이라고 하자. S에 속하지 않는 V의 벡터 v에 대하여 (S(합집합)v 가 선형종속이다)<==>(v는 span(S)에 속한다)
씨발 며칠을 고민했는데 해결이 안되네 도와줘
1.벡터공간 V에 대하여 S를 V의 부분집합이라고 하자. 그러면 (S의 진부분집합 중 span이 S의 span과 같은 것이 없다)<==>(S는 선형독립이다) 이다.
2.벡터공간 V에 대하여 V의 부분집합 S를 선형독립이라고 하자. S에 속하지 않는 V의 벡터 v에 대하여 (S(합집합)v 가 선형종속이다)<==>(v는 span(S)에 속한다)
씨발 며칠을 고민했는데 해결이 안되네 도와줘
S의 진부분집합 S'이 S와 같은 집합을 span한다면, S-S'의 원소는 모두 S'의 선형조합으로 표현 가능하다는거고 이는 곧 선형종속임을 의미함 이거 대우를 취하면 <== 방향을 증명한 것
S={v1,v2,...,vn} 이 선형종속이라면 a1v1+....+anvn=0을 만족하는 비자명해 (a1,...,an) 이 존재할 것이고, 비자명해이므로 0이 아닌 a_k가 존재할거임. 필요하다면 아래첨자를 바꿔서 그 0이아닌 계수를 a1이라고 가정하자. 그럼 {v2,...,vn} 은 S의 진부분집합이면서 S와 같은집합을 span함. 왜냐하면 v1=-(a2/a1)v2-(a3/a1)v3-...-(an/a1)vn 이니까.
S가 유한집합이란건 어떻게 알수있는데?? S가 무한집합일땐 애당초 선형종속을 "자기자신과 같은 집합을 span하는 진부분집합이 존재할 것" 이라고 정의함. 따라서 무한집합인 경우에는 증명할거 없이 동치임.
정성것 답변해줘서 고마워 근데 나는 두 정리의 증명은 알고 있지만 두 정리가 왜 같은 의미라고 하는건지 궁금해서..
아 그뜻이었구나 1을 이용해서 2를 증명할 수 있고 2를 이용해서 1을 증명할 수 있으니까 "같다" 고 하는 것 같은데
맞아맞아 나도 서로를 이용해서 증명 가능하다는건가?라고 생각해서 해봤는데 잘 안되더라고..
일단 1을 가정해서 2를 증명하는건 S가 SU{v} 의 진부분집합이면서 같은 span을 가지니까 그 지점에서 1을 사용하면 2가 증명되는 셈이고
반대로 2를 가정해서 1을 증명하기 위해 S와 그 진부분집합 S'이 같은 span을 가진다고 가정하면 S-S'가 공집합이 아니니까 그 안의 원소를 아무거나 집어서 v라고 하면 v가 span(S') 에 속하는거니까 이 지점에서 2를 사용하면 S'U{v} 가 선형종속이고 따라서 S도 선형종속임이 증명되네
좀 더 사람말로 돌아가자면 1번은 S가 선형종속이면 S안에 깆고있는 몇놈을 적당히 쳐내서 선형독립이 되도록 할 수 있다는 얘기고 2번은 S가 선형독립이면 S밖에 있는 몇놈를 적당히 추가해서 V를 span하게 하는 뭔가를 찾아갈 수 있다고 하는거니까 어떤 의미에선지 "같은 말" 이긴 함. 다만 종속에서 출발해서 내 안에있는걸 쳐낼거냐, 독립에서 시작해서 바깥에 있는걸 추가해갈거냐의 차이만 있는거고
와 오키오키 이해했어 너무 고맙다
무한 감사 ㅜㅜ
굿
S를 V의 basis라고 생각하면 의미가 더 와닿을텐데, S보다 작은 부분집합은 당연히 선형독립이어야 하고, S보다 커지면 "중복"이 생겨나기 때문에 선형종속이 되는 경우가 생겨남. 딱 그 마지노선이 basis가 됨.
아직 기저는 안 나갔는데 이런것도 있구나. 땡큐땡큐