[대학교이상] 대수 질문

[익명(155.230)]

이거 어캐품?

[수갤러 1(125.128)]

N이랑 H가 머임? Normal subgroup이랑 subgroup? - dc App

[익명(155.230)]

H에대한 Nomalizer 하고 H는 subgroup

[수갤러 1(125.128)]

aHa^-1를 Na로 보내는 mapping을 생각하면 될 거 같은데? aHa^-1=bHb^-1 iff ab^-1 in N인 거 이용하면, well-defined랑 1-1 보일 수 있고 onto는 자명하니까 - dc App

[익명(155.230)]

Onto 은 알겠는데 약수인걸 모르겠음

[수갤러 1(125.128)]

아 약수인 거 보이는 거구나 - dc App

[수갤러 1(125.128)]

우선, G를 N의 right coset들로 partition을 내고 index가 n이라고 하자. 그리고 a1, a2,…, an을 각각 서로 다른 coset들의 representitive라고 하자.즉, G는 Na1, Na2,…Nan으로 partition 됨.이제, K*의 개수를 t라고 하자. 그러면 위 coset들 중 t개만이 K를 포함하고 있음. (K*는 representitive가 K의 원소가 될 수 있는 coset들의 모임임.)일반성을 잃지않고 그런 t개 coset들을 단순히 Na1, …, Nat라고 하자. 그러면 K는 Nai와 K의 교집합으로(i=1, 2, …,t) partition 됨. 따라서, K의 원소의 개수는 Nai와 K의 교집합들의 합임. - dc App

[수갤러 1(125.128)]

그런데 각각의 Nai와 K의 교집합은 N’ai와 같음. (여기서 N’은 K 위에서의 H의 normalizer, i.e., N’=N_K(H) ) 다시 말해서, Nai와 K의 교집합은 N’의 coset이란 거임. Coset들의 개수는 다 같으니까 그 개수를 p라고 하면, K의 원소의 개수는 tp가 되겠지. 따라서 t가 K의 원소의 개수를 나눔. 여기다 쓰느라 좀 그런데 이상한 거 있으면 말좀. - dc App

[수갤러 2(39.7)]

Nai와 K의 교집합이 왜 N'ai인지 모르겠음

[수갤러 1(125.128)]

Nai를 K의 원소로 representitive를 바꿔서Nai=Nk라고 하자. (k in K) 그럼 K와 Nk의 교집합이 N’k라는 것을 보일 건데, 먼저, nk in N’k라고 하면 (n in N’) n이 N의 원소이고 K의 원소이기 때문에 nk in K와 Nk의 교집합임. 즉, N’k는 K와 Nk의 교집합의 부분집합임.반대로 nk를 K와 Nk의 교집합에서 가져오면 (이때 n은 N의 원소) nk는 K에 속하니까 n도 K에 속함. 따라서 n은 N’에 속하고 nk는 N’k에 속함.따라서 두 집합이 같음 - dc App

[수갤러 1(125.128)]

내가 처음에 표현을 잘못했네. ai는 K의 원소가 아닐 수도 있는데ㅇㅇ repre를 바꾸면 됨. - dc App

[수갤러 3(45.64)]

나 읽으려고 요약함

[수갤러 3(45.64)]

g∈G에 대해 a∈Ng∩K인 a가 있거나 Ng∩K=ø이거나임 전자면 Ng=Na & a∈K이므로 Ng∩K=Na∩K=(N∩K)a 이제 전자를 ai, 후자를 bi를 써서 G=Na1∪···∪Nat∪Nb1∪···∪Nbs를 disjoint union으로 쓰자, 이때 t=#K*임 K=G∩K=(Na1∩K)∪···∪(Nat∩K)의 크기는 t×#(N∩K)로 t의 배수가 됨

[수갤러 4(112.146)]

뭔 책임?