measure space X 하나잇고
finite signed measure들을 다 모아놓은 집합을 C라하고
C에 norm을 어케정의하냐면 llull=lul(X)로 정의함
( lul는 u의 total variation)
얘가 norm이 되는것까진 어찌어찌 보였는데
complete임을 보이는거에서 막힘..
(un) Cauchy seq하나가져와서
u=limun로 정의하면 well defined에 얘가 finite meausre되는건 보엿음
근데 u로 수렴하는걸 못보이겟음ㅠㅠ헬프
finite signed measure들을 다 모아놓은 집합을 C라하고
C에 norm을 어케정의하냐면 llull=lul(X)로 정의함
( lul는 u의 total variation)
얘가 norm이 되는것까진 어찌어찌 보였는데
complete임을 보이는거에서 막힘..
(un) Cauchy seq하나가져와서
u=limun로 정의하면 well defined에 얘가 finite meausre되는건 보엿음
근데 u로 수렴하는걸 못보이겟음ㅠㅠ헬프
댓글로 쓰니까 수식이 깨지네. 글을 파서 답변을 해야겠다
글을 파도 수식이 깨지는건 마찬가지네.. 힌트를 짧게 주면 먼저 μ가 cauchy seq μ_n들의 수렴이라 할때, μ가 finite additive한걸 먼저 보이고, sigma additive한걸 보이려면 교집합이 공집합인 decreasing set D_1 , D_2 , ...에 대해서 μ(D_t)가 0으로 수렴하는걸 보이면 충분함. 근데 임의의 |μ_k|는 measure니까 |μ_k|(D_t) -> 0을 만족하게 될것임. 이제 임의의 e>0에 대해서 어떤 k가 존재해서 n,m>=k이면 |μ_n-μ_m|(X)가 e/2 이하가 되고, 어떤 N이 존재하여 t>=N이면 |μ_k|(D_t)가 e/2 이하가 됨. 따라서 임의의 n>=k, t>=N에 대해서 |μ_n|(D_t)가 e 이하가 되므로 끝.
감사합니다!
실제로 저 강력한 정리 (Nikodym theorem) 가 성립하는데.. 그냥 {μ_n}이 어떤 finite signed measure의 sequence이고, {|μ_n|(X)}가 bounded이고, 임의의 measurable set E에 대해서 μ_n(E)가 어떤 값 μ(E)로 수렴하면, μ는 finite signed measure가 됨.
증명이 궁금하면
https://pdfs.semanticscholar.org/2acc/57f764fd24613bb00203f1f3fb3c9be26bf2.pdf
에 있는 증명을 읽으면 됨. 실제로 Nikodym metric을 도입해서 Vitali-Hahn-Saks를 먼저 보이고 Nikodym 정리를 쉽게 보일수 있기도 하고 이렇게 하는게 증명이 더 우아해서, 링크에 걸어둔 Schur 보조정리 쓰는 증명은 별로 우아한 증명은 아닌듯.