faithful 과 free의 차이가
free는 예를들어 작용이 G×G->G 인 left multiplication이면
G의 특정한 원소 a에대해 ga=a 일때 g=e 인게 자명하니까
Free 즉 작용의 원소중에 f(g,a)=a 인 f는 항등함수가 유일한게 free
G의 어떤 원소 a에대해 f(g,a)=a 인거 가지고 g=e인 걸 확인할수 없으면 faithful 마즘?
작용의 응용에는 뭐가있음?
Orbit stabilizer theorem 만 알면 적당함?
free는 예를들어 작용이 G×G->G 인 left multiplication이면
G의 특정한 원소 a에대해 ga=a 일때 g=e 인게 자명하니까
Free 즉 작용의 원소중에 f(g,a)=a 인 f는 항등함수가 유일한게 free
G의 어떤 원소 a에대해 f(g,a)=a 인거 가지고 g=e인 걸 확인할수 없으면 faithful 마즘?
작용의 응용에는 뭐가있음?
Orbit stabilizer theorem 만 알면 적당함?
Group action GxM -> M은 G의 원소 하나마다 M->M인 함수를 주는거라 생각할 수 있고; 즉 G->{M에서 M으로 가는 함수} Group action의 조건이 말해주는게 이게 G->{M에서 M으로 가는 bijection 함수}가 되며, 나아가서 Group homomorphism이 된다는 말로 이해할 수 있음. 이 상황을 조금 유식한 언어로 쓰면, "group action G on M은 group homomorphism G->Aut(M)과 같은 정보" 가 됨. 이때 faithful은 이 group homomorphism이 injective인거임,
이제 free는 G의 원소 g하나를 골라오면 g:M->M이 있고, 이 함수의 고정점 같은걸 생각해볼 수 있는데, 이때 모든 g에 대해 고정점이 없는 경우가 Free임. free이면 faithful이 자동으로 됨 왜냐하면 faithful이 안된다 => G->Aut(M)의 커널이 0이 아님 => 적절한 g에 대해서 g:M->M이 identity가 됨.
An action is faithful when ?1≠?2⇒?1?≠?2? for some ?∈? (different elements of ? act differently at some point) while an action is free when ?1≠?2→?1?≠?2? for all ?∈? (different elements of ? act differently at every point);
https://math.stackexchange.com/a/2964663
고정점이 머임
g가 e면 고정점이니까 무조건 생기는거 아닌가
아 ㅈㅅ (e를 제외하고) 라는 말이 빠짐 - dc App