수학에 관심이 많은 수붕이들은 살면서 다들 한 번쯤은 '타원 적분'의 존재에 대해 들어봤을 것이다.
타원이 무엇인지는 다들 잘 알 것이니 각설하고 바로 타원 적분이 무엇인지 적어보도록 하자.
1. 타원 적분(Elliptic integral)
제1종 불완전 타원 적분(Incomplete elliptic integral of the first kind)
제2종 불완전 타원 적분(Incomplete elliptic integral of the second kind)
제3종 불완전 타원 적분(Incomplete elliptic integral of the third kind)
이때 φ=π/2라면 '불완전'이 '완전'으로 바뀌게 된다.
제1종 완전 타원 적분(Complete elliptic integral of the first kind)
제2종 완전 타원 적분
제3종 완전 타원 적분
???: 아니 이게 타원이랑 뭔 상관인데?
확실히 이들의 정의만 보고 있자면, 도대체 왜 이름을 타원 적분으로 명명했는지 납득이 가지 않을 것이다.
뜬금없지만 장축의 길이가 2a, 단축의 길이가 2b인 타원의 둘레를 구해보도록 하자. 타원의 방정식은
이다. 이를 y에 대해 정리하면
가 된다. 교육과정을 착실하게 밟아온 우리 수붕이들은 y=f(x)꼴로 주어진 함수의 길이를 구하는 공식을 잘 알고 있을 것이다.
타원의 대칭성을 고려해 x=0부터 x=a까지 x축 윗부분의 길이만 구해서 4배를 해주도록 하자.
놀랍게도 제2종 완전 타원 적분이 튀어나왔다. 적분 중간에 x=asinθ로 치환적분했다.
이로부터 우리는 제2종 타원 적분을 왜 '타원 적분'으로 부르는지 알 수 있다.
아니 님 그러면 1종이랑 3종은요?
수학자들은 뭐든지 '일반화'하는걸 좋아한다. 먼저 제2종 불완전 타원 함수를 다음과 같이 바꿔 써보자.
이는 t=sinθ와 x=sinφ로 치환하면 쉽게 유도할 수 있다. 궁금한 수붕이들은 직접 손으로 해보길 바란다.
수학자들은, "제2종 타원 적분은 '다항식이 들어간 루트'가 '분수 형태'로 된 적분으로 표현할 수 있네? 그럼 이제 이런 류의 모든 적분을 한꺼번에 고려해볼까?"라고 생각하며
꼴의 함수를 고려하기에 이른다. 여기서 R은 유리함수, P는 중근을 갖지 않는 3 or 4차 다항식이다. 예를 들어 제1종 불완전 타원 함수의 경우
로 표현할 수 있고(똑같은 치환이다!), 이는 정확히 R(t, √P(t))의 형태다.
심지어, f(x)와 같은 형태는 항상 제1, 2, 3종 타원 함수를 통해 표현될 수 있음을 보일 수 있다.
이런 이유에서 우린 f(x)와 같은 형태의 적분을 타원 적분(Elliptic Integral)이라고 부르고
모든 형태의 타원 적분을 나타낼 수 있는 특별한 적분들에게 제1, 2, 3종이라는 이름을 붙였다.
2. 타원 함수(Elliptic function)
마찬가지로 바로 정의부터 들어가보자. 어떤 복소함수 f(z)가 타원 함수라는 것은
i) 유리형 함수(Meromorphic function)이다.
ii) 어떤 선형독립인 복소수 w1, w2가 존재해 f(z+w1)=f(z), f(z+w2)=f(z)를 만족한다.
???:우우 수붕이 어려운거 몰라 잘래
복소해석학을 아직 배워보지 못한 사람이라면 생소한 용어에 당황할 수 있다. 근데 정말로 별 거 없다.
유리형 함수(Meromorphic function)은 '유리 함수'의 복소평면 확장판으로 생각하면 된다. 예를 들어
라는 유리 함수를 생각하자. 비록 x=0에서 불연속이지만, 그 외의 다른 모든 점에서는 미분가능하다. 유리형 함수 또한 이런 특수한 점만 제외하면
나머지 구간에선 전부 미분가능한 함수라고 보면 된다. 앞에서 등장했던 유리 함수 R을 이용할 수 있게 확장한 셈.
두 번째 문장은 그 의미만 알면 첫 문장보다 훨씬 더 이해하기가 쉽다. 두 번째 성질을 갖는 함수를 '이중주기(double periodicity)'를 갖는다고 한다. 그런데 이게 선형독립과 무슨 상관일까?
실함수를 예로 들어보자. 내가 만약 f(x)=sinx를 갖고 와서 "f(x+2π)=f(x+4π)=f(x)가 성립하니까 sinx의 주기는 두 개에요!"라고 말한다면 어떨 것 같은가?
???: 아니 장난함? 2π가 주기니까 당연히 f(x+4π)=f(x+2π)=f(x)지. 우릴 호구로 아냐? 제일 작은거만 주기로 치는거 모름?
그렇다. 이는 4π는 2π의 상수배이기 때문에 발생하는 문제다. 복소평면 개념을 아는 수붕이라면 알겠지만, a+bi라는 복소수는 원점으로부터 (a,b)로의 벡터처럼 취급할 수 있다. 선형대수학의 내용을 약간이라도 아는 이들은 2차원에서 '선형독립'이 '벡터들끼리 한 직선에 놓이지 않는 것'과 동치라는 것을 알 것이다. 즉, 서로 다른 w1, w2에 대해 선형독립이면서 f(z+w1)=f(z), f(z+w2)=f(z)를 만족한다는 말은, '서로 다른 방향'으로 두 개의 주기를 갖는다는 말이다. 아직 잘 안 와닿는다면 다음 사진을 보자.
이 그래프는 '야코비 타원 함수'의 그래프다. 함수가 y=sin(x) 그래프와는 달리 여러 갈래의 주기성을 띄는 것이 보이는가?
여기까지는 문제가 없어 보인다. 그런데 앞서 떠올랐던 의문이 또 떠오르기 시작한다.
"아니 근데 왜 이걸 타원 함수라고 부르는거야?"
일반적인 타원 적분 f(x)를 고려하자.
함수 f(x)가 있다면, 자연스레 f의 역함수도 생각할 수 있다. f(x)의 역함수가 g(x)라면 f(g(y))=y가 성립하는 것은 수붕이들에겐 상식일 것이다. 즉
를 만족하는 g를 찾아 나서보자는 것이다.
i) 야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)
앞서 제1종 불완전 타원 함수가 다음과 같이 표현될 수 있음을 보였다.
여기서 x에 알맞은 g를 찾아 넣으면 제1종 불완전 타원 함수의 역함수를 찾을 수 있다! 이떄의 x를 야코비 타원 함수라고 하고 x=sn(ξ)라고 쓴다.
이로부터 새로운 두 함수를 만들 수 있는데
이 셋을 모두 야코비 타원 함수라고 부른다.
앞서 수학자들은 일반화하는 것을 좋아한다고 했던걸 기억하는가? 우리는 sn함수를 '해석적 확장(analytic continuation)'이라는 수학적 기법을 통해 자연스럽게 복소수 범위까지 정의역을 확장할 수 있다. 그런데 그 결과? 이중주기성을 자연스럽게 갖는 함수가 튀어나온 것이다! 이런 연유에서 유리형 함수이면서 이중주기성을 띄는 함수를 타원 함수(Elliptic Function)이라고 부른다.
ii) 아벨 타원 함수(Abel elliptic function)
야코비 타원 함수와 비슷하게, 아벨 타원 함수는 다음 함수의 역함수로 정의된다.
iii) 바이어슈트라스 타원 함수(Weierstrass elliptic function)
우선 정의부터 살펴보자. 바이어슈트라스 타원 함수는 다소 특이하게 정의된다.
자세히 이해하려 하지 않아도 된다! 좌변에 신기하게 보이는 기호는 p의 필기체고, Λ는 '격자점'들의 집합이다(실수부랑 허수부가 정수인 복소수들의 집합). 이제 비로소 타원 적분과 연관됐던 기존의 타원 함수들과는 달리, 일반화 된 정의에 입각해 고안된 함수를 만나게 되었다.
3. 타원 곡선(Elliptic curve)
타원 곡선의 정의는 다음과 같은 형태의 그래프를 총칭한다.
(사실 이는 특수한 경우고, 엄밀하게 얘기하려면 genus, projectivity등의 내용을 언급해줘야 한다)
또또 또다시 이상하게 생겨먹은 곡선에게 '타원'이라는 이름이 붙었다. 그렇다고 곡선이 타원을 닮았기라도 했는가? 그려보면 알겠지만, 타원과는 접점을 찾아볼 수 없을 정도로 전혀 다른 결과물들이 나온다. 대체 얘는 어쩐 일로 타원이란 이름을 갖게 되었는가?
계산은 생략하겠지만, 야코비 타원 함수와 바이어슈트라스 타원 함수는 다음과 같은 미분 방정식의 해이다.
(야코비)
(바이어슈트라스)
어라? 뭔가랑 많이 비슷한 형태가 아닌가? 그렇다. 타원 함수는 타원 곡선을 분석하는데 유용하게 이용되며, 특히 바이어슈트라스 타원 함수는 미분 방정식의 형태가 타원 곡선과 똑닮아 있다. 거기다가 아까 바이어슈트라스 타원 함수의 정의를 기억하는가? 바이어슈트라스 타원 함수는 격자점을 통해 정의되고, 이 격자점들은 정수와 직접적으로 연관되어 있다. 그리고 대수적 정수론에서는 타원 곡선을 통해 정수의 대수적 성질을 연구하기도 한다. 이런 깊은 연관성 때문에 이 곡선들은, 생김새는 타원과 전혀 다르지만, 타원 곡선(Elliptic Curve)라는 이름으로 불린다.
긴 글 읽어줘서 감사
지적대환영
더써줘요
이걸로 밥벌이는 어케하노?
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
왜 티원이었는데 타원됨
다음은 이차형식에 대해 알려주세요 - dc App
타원적분의 역함수를 생각하게 된 계기인 타원적분의 덧셈정리 이야기가 들어가면 더 재밌겠네. 타원적분 문제를 끝장낸 리만 이야기도 넣고.
나 솔직히 먼지 잘 모르는데 일단 추천 누름
와 님 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 사랑해요
와 타원함수,타원곡선 - dc App