논의영역 G의 임의의 원소 a, b에 대하여,
방정식 a • x = b와 방정식 y • a = b가 각각 해를 가질 때
항등원의 존재성을 증명할 수 있나요?
「수리논리와 집합론 입문」5장 연습문제 9번 푸는데,
"먼저 항등원을 찾아야한다.
G의 아무 원소나 취해서 a로 놓고 e • a = a가 성립하는 e를 하나 취하는 수 밖에 없다."
까지는 이해가 가고요,
"그리고 e가 왼쪽 항등원임을 보여야한다."
가 이해가 안 돼요.
방정식 a • x = b와 방정식 y • a = b가 각각 해를 가질 때
항등원의 존재성을 증명할 수 있나요?
「수리논리와 집합론 입문」5장 연습문제 9번 푸는데,
"먼저 항등원을 찾아야한다.
G의 아무 원소나 취해서 a로 놓고 e • a = a가 성립하는 e를 하나 취하는 수 밖에 없다."
까지는 이해가 가고요,
"그리고 e가 왼쪽 항등원임을 보여야한다."
가 이해가 안 돼요.
- 희망의 등불
그리고 수학과 형님들 진심으로 존경합니다. 이렇게 어려운 걸 어떻게 하시는 건지 ㄷㄷ - 훈다리 훈다리
"there exists e such that for all x, e • x = x."를 보여야하는 거자나요. "for all x, there exists e such that e • x = x."가 아니라. - 훈다리 훈다리
(a는 아까 잡은 a로 고정해놓고) 임의의 b에 대해서 ax_b=b인 x_b가 존재하잖음(x_b는 x에 따라 변하겠지만). 그럼 eb= e(ax_b) =(ea)x_b = ax_b= b일테니까 b가 임의의 원소여도 되겠지. 결합법칙은 깔려있을테고
ㅅㅂ 마법이다. 감사합니다, 형님! - 훈다리 훈다리
책에도 비슷한 게 있었는데 이 뜻이었구나. - 훈다리 훈다리
그런데 어떤 a에 대하여 e • a = a이면 모든 x에 대하여 e • x = x겠네요. 신기하다. 정말 감사합니다. - 훈다리 훈다리