[중고딩문제] 수학적귀납법은 증명이 아니라 추측아닌가요?

[익명(106.252)]

고딩 수학적귀납법 배우고있어요 임의의 상수항에서 명제가 성립할때 다음항에서도 성립한다는걸 보이는거같은데 결국 임의의 상수에 모든 자연수를 넣어보는거 아니고서야 추측만하고 확실하진 않은거아닌가요?

[수갤러 1(39.7)]

모든 자연수를 만들어내는 방법이 수학적 귀납법임. 귀납법을 다시 읽고 질문하셈

[24시카페전기도둑(211.235)]

수학적 귀납법은 이름은 귀납법이지만 사실 연역법임 - dc App

[수갤러 3(59.5)]

이게 맞아. 수학적 귀납법은 철학에서 말하는 귀납 추리 말고 연역 추리야.

[24시카페전기도둑(211.235)]

[익명(oen0c)]

음

[Affine(algebra500)]

자연수 n에 대해 명제 P(n) 이 있다고 하자. 얘가 참이면 P(n)=1 이고 거짓이면 P(n)=0 이라고 하자구

[Affine(algebra500)]

이 명제를 귀납법으로 증명했단건 P(1)=1 P(k)=1 이면 P(k+1)=1 이 두개를 보인거임.

[Affine(algebra500)]

그 두개가 보여졌다면 당연히 P(100)=1 임을 보일 수 있음. 왜? 두번째 성질로부터 P(99)=1 일테니까. 왜? 두번째 성질로부터 P(98)=1 일테니까. ........ ......... 왜? 두번째 성질로부터 P(2)=1 일테니까. 왜? 두번째 성질로부터 P(1)=1 일테니까. 왜? 첫번째 성질에서 증명했으니까.

[Affine(algebra500)]

이런 과정이 필요하다는 의미에서 '대입해야 아는거잖아요' 라고 말한거면 ㅇㅇ 너말이 맞음. 근데 어차피 대입하기 전에도 확신이 생기잖음. 가령 P(1000)=1 도 증명할 수 있다는 확신 말임.

[수갤러 4(110.35)]

수학적 귀납법을 설명할 때 ... 으로 생략을 넣거나 해보면 안다는 식의 설명이 들어가는건 사실 적절하지 않음 귀납법에 대한 질문은 실제로 모든 계단을 하나하나 오르지 않고도 알 수 있는가에 대한 의문이고 도달가능하다고 증명된다가 아닌 어차피 갈 수 있지 않겠느냐 같은 답은 여전히 질문자에게는 추측이며 수학적귀납법과 귀납법의 차이를 잘 보여주지 못함

[수갤러 4(110.35)]

그래서 귀납법을 받아들이기 힘들어하는 학생에게 설명할 때는 사용법보다 자연수의 구성에 초점을 두는게 좋음 본질적으로 귀납법과 자연수를 만드는 것이 같은 논리를 가지기 때문인데 공리적으로 접근하기보단 자연수가 가지는 성질으로 설명한 뒤 이것을 통해 명제를 확인하는 방식으로 설명하여 모든 계단밟기에 대한 의문을 자연수라서 되는 것으로 납득하는 것이 가능해짐

[Affine(algebra500)]

음 좋은 지적임. 네가 질문자의 질문을 더 잘 이해하고 있는 것 같은데 네 설명도 추가해주면 좋을 것 같음. 물론 자연수 집합의 존재 자체가 귀납법을 함의하는 것이나 마찬가지인건 당연함. 애당초 자연수집합의 다른 이름이 귀납적 집합이니까. 하지만 그걸로 어떻게 더 나은 설명을 만들 수 있을진 모르겠음.

[Affine(algebra500)]

"어차피 갈 수 있지 않겠느냐" 라는 식의 설명이 어떤의미에서든 "좋지않은 설명" 이라면, 귀납법 문제를 자연수집합의 구성 문제로 끌고가봤자, 우리의 질문이 "어떻게 자연수집합을 구성할 수 있느냐?" 또는 "왜 자연수집합이 존재하느냐?" 와 같은 질문으로 바뀌는게 다인데, 그 대답도 마찬가지로 궁해지지 않겠음? 그러니까 귀납법을 설명하는것이나 자연수집합의 구성을 설득하는것이나 똑같이 어렵지 않느냐는거임.

[익명(183.102)]

고딩한테 해줄 답 찾다가 페아노 공리계까지 가는것도 뭐하지않을까

[수갤러 4(110.35)]

자연수의 구성에 대한 질문으로 넘어갈 수 있다면 그걸로 이미 절반의 성공은 거둔 상태가 됨 적지 않은 수의 중고등학생의 경우 자연수에 대해 이미 체화하여 다 알고있다고 생각하는 상태이기 때문에 여기까지 오면 스스로 의문을 해결했다고 납득해버리는 경우가 나오고 나머지의 경우는 자신의 질문이 자연수와 귀납 공리에 대한 것이었음을 알게 되고 다음 질문으로 나아감

[수갤러 4(110.35)]

그렇다는건 그 나머지의 경우에게 원래 필요한 설명의 수준이 공리인 거고 그거는 정공법으로 가야지

[수갤러 4(110.35)]

괜히 설명에 딴지거는 것처럼 보였다면 사과함 근데 교직이수할때 귀납법 설명하면서 ...은 쓰지말란 얘기가 깊이 박혀서 그럼

[Affine(algebra500)]

ㄴㄴ 너가 한말이 무슨말인지 알겠고 나도 여러번 읽으면서 생각중이었음. 단지 네 말을 따라서 새로운 설명을 구상해보는데 잘 안떠올라서 그럼

[Advil(boundary0098)]

설명 좋은데? 본인 10대때 떠올리면 수학 학원 선생이 이정도만 설명해줘도 괜찮다 싶을듯

[수갤러 2(221.146)]

산술공리의 무모순성은 증명할 수 없음

[수갤러 6(118.235)]

ZF(C)에서 PA의 무모순성 증명할 수 있는 거 아님? 바로 그 자연수 N이 PA의 모델이 되니까

[수갤러 2(221.146)]

c에 구체적인 수를 넣지 말고 미지수로 생각해봐 도미노랑 똑같음

[수갤러 2(221.146)]

간혹 이걸 헷갈리는 애가 있더라

[수갤러 5(220.71)]

니가 임의의 상수를 가져와도 몇 억년이 걸리든 어차피 항상 증명 가능한데

[수갤러 7(39.115)]

크흑 사실 자연수도 ..

[익명(220.77)]

이런 걸 질문할 지능이면 뭘 공부해도 이딴 질문을 던질테니 그냥 외우는 게 너한테 맞음 - dc App

[수갤러 8(112.152)]

글쓴이다

[수갤러 8(112.152)]

이해했다

[수갤러 8(112.152)]

다들고오맙다